Lösung Aufgabe 22

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Tolle Aufgabe mit für mich überraschendem Ergebnis: Das magische Herz entpuppt sich
nicht als Kugel sondern als „Kugelwürfel“:
https://www.dropbox.com/s/58f2ga2i0j6461s/22_Fehlinger_Zelda-in-Gefahr-Wuerfel-
Kugel.JPG?dl=0

[Anonymous]

Hier habe ich die Bilder von K0 bis K9 dargestellt:
https://scratch.mit.edu/projects/621499599

[Anonymous]

Hat denn jemand eine Beweis, dass das magische Herz wohldefiniert ist… Also bei 4 Kanten an einer Ecke in K_n tatsächlich eine Pyramide abgeschnitten wird und somit eine viereckige Außenfläsche in K_(n+1) entsteht. Also die Mittelpunkt der betreffenden Kanten in K_n immer planar/ linear abhängig sind?

[Anonymous]

Aussage 10 hatte ich sofort im Verdacht falsch zu sein. Sehr schön war dann, dass mit Aussage 7 und dem Anfangsoktaeder K1 sofort bewiesen war, dass entweder Aussage 10 oder Aussage 7 falsch war, da laut Aussage 7 die Seitenschwerpunkte von K1 zum magischen Herz gehören, sie aber gleichzeitig unterschiedlich weit vom Mittelpunkt entfernt waren (bzw. die Abstände gegenüberliegender Seitenschwerpunkte unterschiedlich waren), was bei einer Kugel nicht möglich ist.
Somit waren alle anderen Aussagen also richtig.
Aussage 7 ließ sich aus der Bildungs-Regel der K_n+1 leicht geometrisch veranschaulichen. Die Wohldefiniertheit folgt aus der Konvexität (Aussage 3). Also konnte das magische Herz keine Kugel sein.

[Anonymous]

Auch bei mir sind nur die Aussagen 7 und 10 als mögliche falsche Aussagen übrig geblieben. Allerdings komme ich zu dem Schluss, dass Aussage 7 falsch ist, und zwar aus folgendem Grund:
Bei n=4 entstehen als Seitenflächen insbesondere Trapeze, deren kurze Seite der beiden parallelen Trapezseiten die Ecke einer Seitenfläche abgeschnitten hat, die ein gleichseitiges Dreieck ist.
Hat K3 (der kleine Rhombenkuboktaeder als zwölfter der archimedischen Körper) bei seinen vorhandenen quadratischen Seitenflächen eine Kantenlänge von a, so hat eine der trapezförmigen Seitenflächen bei n=4 die Seitenlängen
sqrt(2)*1/4*a und (1/(sqrt(2))*a bei den parallelen Seiten sowie
a*sqrt(3/8) bei den anderen beiden Seiten.
Und genau der Flächenschwerpunkt dieses Trapezes in K4 liegt k Schritte später nicht mehr auf einer der Seitenflächen von K(4+k), weil er abgeschnitten wird. Das passiert bei Erzeugung von K10 (also k=6 Schritte später) gemäß meiner Abschätzung. Der Grund dafür ist das “Wandern” des Seitenflächenschwerpunks bei Bildung von K5 bis K10.

[Anonymous]

Hi zusammen,
auch ich habe Aussage 7 raus. Ich habe mir das aufgezeichnet (vgl. Anhang). Es ist nur zu erahnen, aber das reichte mir 😉
https://www.dropbox.com/t/TpBOMee3HOz3Ltb8

Ich konnte auch viele ausschließen und es blieben 7 und 10 übrig. Habe dort mit meinen Schülerinnen und Schülern lange diskutiert.

[Anonymous]

Auch ich habe genauso wie Annikolaus das Problem mit dem Schwerpunkt des symmetrischen Trapezes gesehen, der “langsam” “rauswandert” und irgendwann abgeschnitten wird und habe deshalb auch die Aussage 7 als falsch eingeschätzt.

[Anonymous]

Da die offizielle Lösung die 10 ist, und spätestens nach Betrachten der Bilder auch klar ist, dass eine Kugel nicht sein kann, wird es wohl die 10 sein.

Anonymous wrote:

Aussage 7 ließ sich aus der Bildungs-Regel der K_n+1 leicht geometrisch veranschaulichen.

Kannst du diese Veranschaulichung von Aussage 7 erläutern? Ich habe das nicht hinbekommen, ich habe den Schwerpunkt nicht so richtig in den Griff bekommen. Gilt das für allgemeine Vierecke auch? (Aussage 7 ist ja ein rein 2-dimensionales Problem, wenn man erst mal die Seitenfläche hat – also muss es entweder für alle Vierecke gelten, oder man muss zeigen, dass es für die speziellen Vierecke gibt, die hier auftreten.)

Dass 10 nicht richtig ist, war für mich leichter einzusehen. Es müsste ja wohl die Inkugel des Tetraders sein (dessen Seitenmittelpunkte erhalten bleiben), und die Schnitte von K1 nach K2 schneiden da schon zu viel ab (gegenüberliegende Ecken des Oktaeders erzeugen Flächen mit zu geringem Abstand). Wenn ich mich nicht verrechnet habe 🙂

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Da die offizielle Lösung die 10 ist,

Wo gibt’s die offizielle Lösung?

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Wo gibt’s die offizielle Lösung?

Über Kalender->Aufgaben. Am Anfang nur bei der englischen Version, aber inzwischen auch schon länger bei der deutschen.

https://www.mathekalender.de/wp/de/kalender/loesungen-2021/

[Anonymous]

Danke. Ich habe gewartet, dass auf der übersichtsseite mit meinen Antworten die Punkte dazu auftauchen.

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Danke. Ich habe gewartet, dass auf der übersichtsseite mit meinen Antworten die Punkte dazu auftauchen.

Manches ist eben noch nicht ganz ausgereift auf der neuen Seite. Eigentlich gibt es ja auch Lose, nicht Punkte. Bei Punkten ist aber wenigstens klar, dass sich die Platzierung nicht an der Anzahl der richtig beantworteten Fragen orientiert, sondern an den Punkten. Bei den Losen hat mich das immer gestört.

[Anonymous]

Nochmal zurück zur Antwortmöglichkeit 7.
Wegen Nachfrage: Zum Bestimmen des Schwerpunkts im Viereck (also insbesondere im Trapez) siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Viereck
Fragen in die Runde zum “Hinhangeln” zur Konstruktion:
– Ist es strittig, dass achsensymmetrische Trapeze als Seitenflächen bei K4 entstehen?
– Liegt bei einem solchen (echten) Trapez der Flächenschwerpunkt auf der halben Länge der Symmetrieachse zwischen den beiden parallelen Seite, oder ist er in Richtung der längeren Seite verschoben?
– Gilt diese Verschiebung des Flächenschwerpunkts in Richtung der längeren der beiden parallelen Seiten generell für jedes achsensymmetrische Trapez, das kein Rechteck ist? (nur als kleine Bonusfrage)
– Ist die auf das achsensymmetrische Trapez bei K5 aus dieser Seitenfläche folgende Seitenflächenform eine Raute? Wenn ja, fällt der Flächenschwerpunkt dieser Raute in K5 mit dem Flächenschwerpunkt des vorausgehenden Trapezes in K4 zusammen?
– Ist die auf die Raute in K5 folgende Seitenflächenform in K6 ein Rechteck, dann wieder in K7 eine Raute, in K8 ein Rechteck, in K9 eine Raute usw.?
– Wo liegen deren Flächenschwerpunkte?
– Ist K10 ein Rechteck?
– Liegt der Flächenschwerpunkt des Trapezes aus K4 noch innerhalb des nun betrachteten Rechtecks von K10?

Mit den in meinem ersten Post (#15379) angegebenen Seitenlängen des Trapezes kann man sich die Konstruktion aufzeichnen und kommt bei genügender Genauigkeit darauf, dass Aussage 7 falsch sein muss. Wenn die Aussage 7 aber (gemäß Liste der Lösungen) doch richtig ist, wäre es schön, wenn wir zusammen den “Denkfehler” finden könnten.
Ich zähle auf euch 😉

[Anonymous]

Es ist tatsächlich fraglich, welcher Schwerpunkt gemeint ist. Nimmt man den Schwerpunkt der Eckpunkte, so passt Antwort 7. Ist nun der Schwerpunkt einer ganzen Seitenfläche ungleich dem Schwerpunkt seiner Eckpunkte, so liegt dieser letztendlich nicht mehr im gesuchten Körper.

[Anonymous]

Ich habe genau die gleichen Flächenreihenfolge wie Annikolaus erhalten. Nach dem Trapez wechseln sich Raute und Rechteck ab. Diese haben zwar alle den gleichen Schwerpunkt (in der Mitte), aber die Flächen werden immer kleiner, und irgendwann so klein, dass der Schwerpunkt des Trapezes von K4 nicht mehr auf diesen Flächen liegt (d.h. ab irgend einem k ist Schluss) und somit wäre Antwort 7 falsch.
Der Flächenschwerpunkt eines gleichschenkligen Trapezes (das kein Parallelogramm ist) ist natürlich in Richtung der längeren der beiden parallelen Seiten verschoben (zur Not kann man ein solches Trapez basteln und und versuchen es auf einer Bleistiftspitze zu balancieren).

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