Lösung Aufgabe 22

[Anonymous]

Zur klareren Veranschaulichung siehe das rote Viereck als Beispielrepräsentant der ersten 48 nicht-planaren Vierecke beim Schritt 6, die aufgrund der Schattierung auch schön im Intro-Bild zu sehen sind, wie sie sich jeweils rechts und links entlang der Würfelkanten zwischen den Mitten der gleichseitigen Dreiecke entlangziehen (oder bildlich gesprochen: entfalten).

sslcamp.de/0x63.de/maka2021/ (nicht-planare 4-Ecke im Schritt 6)

( Drehen/Bewegen mit Maus, Zoomen mit Rad bzw. mittlerer Maustaste )

Auch zum Verständnis anderer Aspekte (wie bspw der Trapezentstehung) ist dieses kleine Programm sicher hilfreich,

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Wie schon vermutet, bleibt damit wohl nicht mehr viel von der Aufgabe übrig. Selbst, wenn die nicht-planaren Kantenmengen (z.B. mittels konvexer Hülle der Kantenmitten) noch sauber wegformalisiert werden könnten, wären in den Folgeschritten das Entstehen von 5-Ecken, 6-Ecken und und und … nicht ausgeschlossen, wie auch die Beibehaltung der Mittelpunkte und die meisten anderen Aussagen ernsthaft in Frage gestellt wären.

Würde man die nicht-planaren Vielecke nur lokal beim Entfernen jeder Ecke korrigieren, könnte ich mir in den Folgeschritten dort den Verlust der Konvexität vorstellen. evtl sogar das Entstehen fraktaler Strukturen (!!?).

Was von der Aufgabe bleibt, ist vor allem die schöne Idee, und die Herausforderung, das Wesen der magischen Herzen (wie auch immer deren Konstruktion konkret formalisiert wäre) doch noch irgendwie zu erfassen. Ein schönes Beispiel, wie Mathematik lebt 🙂 Danke an die Aufgabensteller.

[Anonymous]

Thanks all for the interesting discussion. I can read German, but I won’t dare to write it. So I an responding in English.

I think it would be reasonable to view these nonplanar quadrilateras (
#15802) as two panar triangles. Which leads to > 4 edges coming togeter in a vertex, which invalidates answer 4.

[Anonymous]

Sehr schöne Visualisierung, danke umu. Ich habe mir um die Antwort 10 eh keine Gedanken gemacht. Ich bin die Antwortmöglichkeiten von 1 startend in aufsteigender Reihenfolge angegangen. Und da ich beim “Auftauchen” von symmetrischen Trapezen bei K4 erkannt hatte, dass die Aussage 7 über die Flächenschwerpunkte nicht stimmen kann, habe ich natürlich aufgehört.
Auch ich fand die Aufgabe im nachhinein jetzt als die Beste, denn hier ist im Forum eine super Diskussion entstanden, genau das ist “Mathematik”. Vielen Dank an alle, die so wie ich, daran gezweifelt haben, dass nur Antwort 10 falsch ist. 🙂

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Ich bin die Antwortmöglichkeiten von 1 startend in aufsteigender Reihenfolge angegangen.

Alte schülerregel: mach die fragen in ansteigender Schwierigkeit. So kam ich nie bei 7 vorbei. Zu zeigen, dass 10 nicht stimmen kann, ging einfach leichter.
Danke, dass hier die Antwortmöglichkeit 7 so gründlich untersucht wurde. Meine Beschäftigung mit der Figur ist durch die Diskussion hier im Forum viel intensiver wie ursprünglich zum (vermeintlichen) Lösen der Aufgabe.

[Anonymous]

umu – was für eine großartige Visualisierung, das ist wirklich fantastisch! Danke…

[Anonymous]

Ich habe jetzt auch nochmal ein paar Stunden investiert und habe weitgehend mit Papier und Stift (mit Ausnahme der arccos- Werten, da half ein handelsüblicher Taschenrechner) mich bis zum Körper K6 “durchgekämpft”. Dabei half mir auch die Idee von st1974 (bei Aufgabe 21) den Körper K0 clever ins Koordinatensystem zu legen.
KO hat bei mir die Eckpunkte A( 0 | 0 | 0 ) , B( 1 | 1 | 0 ] ; C( 1 | 0 | 1 ) ; D( 0 | 1 | 1 )
Dann haben die Mittelpunkte der Kanten (also die Eckpunkte des nächsten Körpers) einigermaßen handhabbare Koordinaten.
Ich habe dann bei K6 mich auf folgendes Viereck konzentriert:

Eckpunkte: A6 ( 7/16 | 25/64 | 17/64 ) ; B6 ( 25/64 | 11/32 | 19/64 ) ; C6 ( 7/16 | 5/16 | 5/16 )
D6 ( 1/2 | 11/32 | 9/32 )
Die Punkte A6, B6 und D6 legen eindeutig eine Ebene E im Raum fest:

E: 48x_1 + 176x_2 + 336x_3 = 179

Die Punktprobe mit C6 liefert: 181 = 179
Und somit liegt der 4.Eckpunkt des Vierecks “knapp” nicht auf der Ebene.
==> Das Viereck ist nicht planar.

Übrigens der Abstand zur Ebene beträgt 1/(8*Wurzel(571)) = ca. 0,005231
“Unser” Viereck hat also einen “kleinen” Knick.

Dann hab ich noch die vier Innenwinkel (das hat st1974 auch getan) berechnet, es gilt:

cos(alpha) = – 1/(2*wurzel(143)) ==> alpha = ca. 92,39635548°

cos(beta) = 1/(2*wurzel(77)) ==> beta = ca. 86,73350075°

cos(gamma) = – 3/(2*wurzel(21)) ==> gamma = ca. 109,1066054°

cos(delta) = 2/(wurzel(39)) ==> delta = ca. 71,32157401°

Als Winkelsumme ergibt sich: ca. 359,5580356°

Und da war ich erleichtert, denn genau diesen Wert hat st1974 auch angegeben.

Damit ist klar, bis K5 klappt das noch, aber ab K6 fallen einige Aussagen die bis K5 richtig sind in sich zusammen und werden falsch. Sicher auch die Aussagen 8 und 9.

Es war zwar zäh, aber manchmal macht ein stundenlanger Kampf mit Papier und Bleistift auch unglaublich Spaß. Mathematik benötigt eben neben “Inspiration” manchmal auch “Transpiration”.

[Anonymous]

Mal ein Vorschlag um die Aufgabe zu retten…
In K(n) werden an jeder Ecke immer noch die Ecken abgetragen, so dass K(n+1) entsteht. Sei hierzu E eine Ecke von K(n), so grenzen daran drei bis vier Kanten. Man bestimmt den Mittelpunkt jeder Kante. Sind es drei Kanten und entsprechend drei Mittelpunkte, so trägt man an der Ecke E eine ebene Fläche durch die drei Mittelpunkte ab. Sind es vier Kanten und entsprechend vier Mittelpunkte (A,B,C,D), so trägt man an der Ecke E eine Fläche durch diese vier Mittelpunkte ab, so dass folgende Schnittfläche S entsteht:
P liege in S, wenn es a,b in [0,1] gibt, so dass: P = A(1-a)(1-b)+Ba(1-b)+Cab+D(1-a)b.
Insbesondere liegt dann mit a = b = 0.5 auch P = (A+B+C+D)/4 in S, also der Eckenschwerpunkt von A,B,C,D.
Außerdem sind die Strecken AB, BC, CD, DA in S. Damit kann man im nächsten Schritt wieder einfach Mittelpunkte dieser Kanten bilden.

Folglich wäre dann nur Antwort 10 richtig, wenn es in Antwort 7 der Eckenschwerpunkt ist. Mag mal jemanden das K(infty) mit dieser Konstruktion bestimmen ^^

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Ich muss euch leider recht geben, ich habe mein Python-Skript um eine Auswertung der Schnittflächen erweitert. So geht’s weiter:

K4: 8 Dreiecke, 6 Quadrate, 12 Parallelogramme, 24 Trapeze
K5: 8 Dreiecke, 6 Quadrate, 36 Rechtecke, 24 Parallelogramme, 24 Trapeze

Bei K6 tauchen dann 48 nicht-planare “Flächen” auf. Die Innenwinkelsumme der 4 Punkte beträgt nur 359.558 Grad.

Ich fürchte, dadurch fällt die Aufgabenstellung in sich zusammen, da die Konstruktionsvorschrift für K6 nicht korrekt ist.

Das klingt mir ehrlich gesagt eher nach Rundungsproblemen.

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Mal ein Vorschlag um die Aufgabe zu retten…
In K(n) werden an jeder Ecke immer noch die Ecken abgetragen, so dass K(n+1) entsteht. Sei hierzu E eine Ecke von K(n), so grenzen daran drei bis vier Kanten. Man bestimmt den Mittelpunkt jeder Kante. Sind es drei Kanten und entsprechend drei Mittelpunkte, so trägt man an der Ecke E eine ebene Fläche durch die drei Mittelpunkte ab. Sind es vier Kanten und entsprechend vier Mittelpunkte (A,B,C,D), so trägt man an der Ecke E eine Fläche durch diese vier Mittelpunkte ab, so dass folgende Schnittfläche S entsteht:
P liege in S, wenn es a,b in [0,1] gibt, so dass: P = A(1-a)(1-b)+Ba(1-b)+Cab+D(1-a)b.
Insbesondere liegt dann mit a = b = 0.5 auch P = (A+B+C+D)/4 in S, also der Eckenschwerpunkt von A,B,C,D.
Außerdem sind die Strecken AB, BC, CD, DA in S. Damit kann man im nächsten Schritt wieder einfach Mittelpunkte dieser Kanten bilden.

Folglich wäre dann nur Antwort 10 richtig, wenn es in Antwort 7 der Eckenschwerpunkt ist. Mag mal jemanden das K(infty) mit dieser Konstruktion bestimmen ^^

Okay, meine Konstruktion funktioniert mitunter auch nicht, da in der Schnittfläche S nicht unbedingt die Strecken der Mittelpunkte zueinander liegen müssen, also die Strecken von (A+B)/2 zu (B+C)/2 zu (C+D)/2 zu (D+A)/2 zu (A+B)/2. Entsprechend könnte von K(n) zu K(n+1) ein Teil abgeschnitten werden mit S, welcher zu K(n+2) wieder gehören sollte (wenn etwa eine dieser 4 Strecken abgeschnitten wird, da er außerhalb von S lag). Naja…

Edit: Aber diese Formel P = A(1-a)(1-b)+Ba(1-b)+Cab+D(1-a)b gefällt mir.
Wenn C = D+B-A (also A,B,C,D liegen in einer Ebene), dann ist S auch ein ebenes Viereck mit den Ecken A,B,C,D
Wenn C = D, dann ist S auch ein Dreieck mit den Ecken A,B,C
Wenn B = C = D, dann ist S auch eine Strecke mit den Ecken A,B
Wenn A = B = C = D, dann ist S auch der Punkt A

[Anonymous]

Danke allen Beteiligten, besonders natürlich umu, für dieses köstliche Dessert!

(Ich selbst hatte die Antworten 10 und 7 als Kandidaten übrig, und weil ich die einzig in Frage kommende Kugel ausschließen konnte, dachte ich über die Trapeze in K4, die ich auch gefunden hatte, leider gar nicht weiter nach. An der Planarität der Schnitte zu zweifeln, kam mir erst recht nicht in den Sinn. Hut ab vor eurer Aufmerksamkeit und mathematischen Gründlichkeit — ich habe heute Abend viel gelernt!)

[Anonymous]

Das lustige ist ja, wenn zwischendurch mal die Mittelpunkte A,B,C,D der vier Kanten an einer Ecke E nicht in einer Ebene liegen, dann weiß man nicht, was man an der Ecke E abschneiden soll, da ABCD kein ebenes Viereck ist. Seien jetzt K der Mittelpunkt von AB, L von BC, M von CD und N von DA, so würde im nächsten Schritt diese “Schnittfläche” S = “ABCD” ja zu KLMN verkleinert. KLMN ist nun aber wieder ein ebenes Viereck. Beweis:
K = (A+B)/2
L = (B+C)/2
M = (C+D)/2
N = (D+A)/2
Dann ist:
L+N-K = (B+C+D+A-A-B)/2 = (C+D)/2 = M
Also M liegt in einer Ebene durch K,L,N.

Die noch zu findende Schnittfläche S (“ABCD”) für die Ecke E muss also A, B, C, D [wenn diese selbst kein ebenes Viereck bilden], die Kanten AB, BC, CD, DA, sowie das Viereck KLMN enthalten, damit es danach immer weiter gehen kann. ABCD und KLMN haben dabei wie gewünscht denselben Eckenschwerpunkt Z.

Die Schnittfläche S muss dann aber iwie “gekrümmt” sein… eine schöne Idee hab ich dazu noch nicht.

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Edit: Aber diese Formel P = A(1-a)(1-b)+Ba(1-b)+Cab+D(1-a)b gefällt mir.

Leider ist das für beliebige A, B, C, D keine Ebenengleichung. Insb. nicht für den hier diskutierten problematischen Fall, dass die vier Punkte nicht in einer Ebene liegen.
Es sieht zwar nach Rundungsfehler aus, ist escaber wohl eher nicht. Sicher nicht mit dem dafür entwickelten python; aber wenn ich mir K6 ansehe, würde ich mit normaler (antiker) double-Rechnung auch keinen so großen Fehler erwarten.
Mal sehen, wie die offizielle Stellungnahme lautet.

[Anonymous]

pesi schrieb: Das klingt mir ehrlich gesagt eher nach Rundungsproblemen.

Nein die 359,558° von st1974 sind definitiv kein Rundungsfehler. Bei meiner händischen Rechnung wird erst bei der Anwendung der arccos im Taschenrechner auf 8 Dezimalen gerundet. Der Rundungsfehler kann also in der Summe der vier Winkel nicht groß sein. Es liegt eben kein planares Viereck vor.

[Anonymous]

…dann ist die Aussage aus dem Forum zur Aufgabe 22 “Taucht man etwas tiefer in die Aufgabe ein, so kann man auch leicht zeigen, dass alle für den jeweiligen Schnitt in Frage kommenden Punkte in einer Ebene liegen müssen.” wohl nicht ganz korrekt?!

Aber mal eine andere Frage: In der Aufgabenstellung steht gar nichts von “Schnitt-EBENEN”, damit wäre ein nicht-planares Viereck als Schnitt-FLÄCHE doch durchaus möglich? (Wenn auch nicht ganz eindeutig definiert; wobei als “Drahtgitter-Modell” der Ecken und Kanten wie so ein Baby-Greifball würde es schon funktionieren, nur als Körper eben nicht…)

Die einfachste Schneide-Anleitung wäre dann glaube ich, dass die weiter außen liegende Diagonale eine neue Kante bildet, damit werden dann die nicht-planaren Trapeze jeweils in zwei Dreiecke mit je einer zusätzlichen Kante geknickt, was dann offensichtlich aber auch Antwort 8 und 9 richtig machen würde.

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Feles wrote:

Edit: Aber diese Formel P = A(1-a)(1-b)+Ba(1-b)+Cab+D(1-a)b gefällt mir.

Leider ist das für beliebige A, B, C, D keine Ebenengleichung. Insb. nicht für den hier diskutierten problematischen Fall, dass die vier Punkte nicht in einer Ebene liegen.

Es sollte auch keine Ebene sein, sondern eine gekrümmte Fläche, an der man die Ecke E durch die Punkte A,B,C,D abtragen kann mit den gewünschten Eigenschaften, dass die Aussagen in der Aufgabe noch korrekt sind. Leider schafft auch diese Formel das nicht, da man Teile des ebenen Vierecks KLMN (die Mittelpunkte der Kanten AB usw) damit absäbelt.

Eine solche einfach, gekrümmte Fläche hab ich noch nicht gefunden xS
Aber wie @Raaadi im letzten Post schon feststellt: Die Schnittfläche S muss gekrümmt sein, also darf keine Kanten aufweisen, da ansonsten die Aussagen 4,8,9 falsch werden. Aussage 6 müsste natürlich um solche Schnittflächen S ergänzt werden. Aussage 7 müsste sowieso der Schwerpunkt der Ecken sein. Über Aussage 3 mag ich mir da gar nicht erst Gedanken machen xD

Aber vielleicht kann man es so schaffen, dass nur Aussage 10 falsch ist 😀

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