Lösung Aufgabe 22

[Anonymous]

Die Aufgabenstellung wurde während der Antwortphase einmal beim Wortlaut von Antwortmöglichkeit 7 korrigiert. Der letzte Wortlaut, von dem ich ausgegangen bin, lautete bei Antwortmöglichkeit 7:
Die Schwerpunkte der Seitenflächen von K_n gehören zu allen K_{n+k} (k∈N).

Zudem tauchte in Antwort 7 nie das Wort “Ecke” auf.

Es ist daher nicht der Schwerpunkt der Eckpunkte gemeint, sondern der der jeweiligen Seitenflächen. Der Schwerpunkt des oben beschriebenen Trapezes von K4 liegt bei Weiterentwicklung bis K10 nicht mehr auf einer Seitenfläche von K10.

@st1974: Könntest du es möglicherweise hinbekommen, dies (vergrößert) in deiner Animation zu zeigen?

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Diese haben zwar alle den gleichen Schwerpunkt (in der Mitte), aber die Flächen werden immer kleiner, und irgendwann so klein, dass der Schwerpunkt des Trapezes von K4 nicht mehr auf diesen Flächen liegt (d.h. ab irgend einem k ist Schluss) und somit wäre Antwort 7 falsch.

Das verstehe ich nicht: Wenn der Schwerpunkt immer der gleiche ist, und der Schwerpunkt immer innerhalb der (kleiner werdenden) Fläche liegt, muss der Schwerpunkt doch immer drin bleiben?

Mich würde es bei dieser Aufgabe aber nicht wundern, wenn tatsächlich zwei Antworten falsch wären. Die Aufgabenstellung enthielt ja einige Schludrigkeiten, und bis jetzt sind Tippfehler drin, bei denen sich niemand die Mühe macht, die zu verbessern. (Man merkt mir vermutlich an, dass ich diese Aufgabe nicht mag.)

Wenn es mit dem Schwerpunkt der Eckpunkte klappt, war vermutlich das gemeint. Auch an der Formulierung dieser Aussage wurde ja noch herumgeschnitzt, allerdings erfolglos, wie mir scheint.
Hier gilt dann die alleroberste Regel des Kalenders (die oberste ist bekanntlich, dass man nichts dazuerfinden soll): “Die Aufgaben sind so zu verstehen wie sie gemeint sind.”. Oder so ähnlich.

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Der Schwerpunkt des oben beschriebenen Trapezes von K4 liegt bei Weiterentwicklung bis K10 nicht mehr auf einer Seitenfläche von K10.

Es würde ja schon reichen, wenn man ausrechnet, dass bei einer verkleinerten Seite der Schwerpunkt nicht mehr mit dem “Vorgängerschwerpunkt” übereinstimmt. Da die Seiten im Laufe der Zeit zu einem Punkt zusammenschrumpfen, können nicht beide für immer drin bleiben.

[Anonymous]

Der Schwerpunkt des Trapezes ist nicht der gleiche wie der Folgefläche, der Raute, das ist ja gerade das Problem bei Antwort 7. Ab der Raute, also der Folge Raute, Rechteck, Raute … bleibt der Schwerpunkt erst der gleiche.

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Der Schwerpunkt des Trapezes ist nicht der gleiche wie der Folgefläche, der Raute, das ist ja gerade das Problem bei Antwort 7. Ab der Raute, also der Folge Raute, Rechteck, Raute … bleibt der Schwerpunkt erst der gleiche.

Danke, jetzt habe ich es verstanden (glaube ich 🙂 ). Ich hatte Antwort 7 nicht so weit durchdrungen wie du, sondern aufgegeben, und mich damit zufriedengegeben, dass die Aussage von Antwort 10 falsch ist.

Dann sind die Antworten 10 und 7 beide richtig (weil ihre Aussagen beide falsch sind).

[Anonymous]

Ja, ich denke auch, dass die Antworten 7 und 10 beide richtig sind (, weil ihre Aussagen beide falsch sind). Ich habe vorhin mal Ariane angeschrieben und sie gefragt, ob sie sich die Argumente ansehen könnte.

Einen Nachtrag mit einer Frage habe ich noch: Ich hatte anfangs geschrieben, dass K3 “der kleine Rhombenkuboktaeder als zwölfter der archimedischen Körper” sei. Das ist so nicht richtig, denn K3 enthält auch Rechtecke, die keine Quadrate sind. Es gibt aber auf der Seite
https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedischer_K%C3%B6rper
in der Tabellenzeile “Kantellation” und Feld “Rhombenkuboktaeder” ein .gif , das einen solchen Körper wie K3 bestehend aus gleichseitigen Dreiecken, Rechtecken und Quadraten als “Entwicklungsstufe” vom Oktaeder zum Rhombenkuboktaeder zeigt. Kennt jemand von euch den Namen des Körpers K3, der einer dieser Entwicklungsstufen entspricht?

[ariane]

Wir werden die Aufgabe in der kommenden Woche noch einmal mit den Aufgabensteller*innen prüfen. Ich gehe im Moment davon aus, dass in der Tat Aussage 7 UND 10 falsch (und damit korrekt) sind.

Sollte sich das so bewahrheiten, werden natürlich beide Antworten als richtig bewertet.

Tut mir leid 😐

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Hat denn jemand einen Beweis, dass das magische Herz wohldefiniert ist

Richtig. Diese Skepsis ist begründet. Mit der “angedeuteten” Konstruktionsvorschrift möglicherweise nicht. Zumindest scheinen sich bei meinen Berechnungsversuchen schon in frühen Schritten nicht-planare Vierecke zu ergeben. Oder habe ich mich da irgendwo bei vertan? Mittels python-gmpy2 sind akkumulierte Rundungsfehler ziemlich sicher ausgeschlossen… Bei Vergrößerung des Ausgangskörpers skaliert der Diagonalenabstand in gleichem Maße… Alles deutet also darauf hin.

Leider 🙁 Wäre sehr schade um die Aufgabe 🙁 Fand diese nämlich genau deswegen besonders reizvoll –

bei dieser Gelegenheit gleich noch mal und alle Jahre wieder ein riesengroßes Dankeschön an alle Mathekalenderianer und Mathekalenderianerinnen für die wieder wundersam versüßte Adventszeit,
bin nicht eher hier ins Forum und dazu gekommen, zeitlich … –

Zu retten wäre die Idee mlgw mit der Konstruktion der “konvexen Hülle über alle Kantenmitten” und der entsprechenden Anpassung einiger Aussagen. Auch wenn das nicht so schön klingt wie “Ecken gleichmäßig abschneiden”. Vermutlich kommt man da aber nicht drum herum. Obwohl ich irgendwie immer noch ein wenig hoffe …

[Anonymous]

Huhu, noch zu Antwortmöglichkeit 7: Ich hatte auch gedacht, diese Aussage wäre falsch, da bei K4 Trapeze entstehen. Mittlerweile glaube ich aber, dass da doch keine Trapeze entstehen. Die Animation von st1974 zeigt doch eigentlich, dass es hier nur Rechtecke und gleichseitige Dreiecke gibt. Die abgeschnittene Ecke von K3 besteht in K3 aus zwei gegenüberliegenden Quadraten und zwei gegenüberliegenden gleichseitigen Dreiecken, denke ich.
Bin aber dankbar für eine Begründung, dass hier ein Trapez entsteht, weil das meine Antwort retten würde 😉

[Anonymous]

Anonymous wrote:

Bin aber dankbar für eine Begründung, dass hier ein Trapez entsteht, weil das meine Antwort retten würde 😉

K0 : 4 gleichseitige 3-Ecke
K1 : 8 gleichseitige 3-Ecke
K2 : 8 gleichseitige 3-Ecke und 6 Quadrate
K3 : 8 gleichseitige 3-Ecke, 6 Quadrate und 12 Rechtecke
Jede kurze Seite eines Rechtecks ist mit einer Seite eines gleichseitigen Dreiecks verbunden und jede lange Seite ist mit einer Seite eines Quadrates verbunden. Wenn nun K4 gebildet wird entsteht durch Abschneiden einer Ecke aus Quadrat-Rechteck-Dreieck-Rechteck ein Trapez.

Habe mir gerade die Animation noch einmal angesehen. => Zwischen 3-Eck und Quadrat ist ein Trapez zu erkennen. 😉

[Anonymous]

Ich muss euch leider recht geben, ich habe mein Python-Skript um eine Auswertung der Schnittflächen erweitert. So geht’s weiter:

K4: 8 Dreiecke, 6 Quadrate, 12 Parallelogramme, 24 Trapeze
K5: 8 Dreiecke, 6 Quadrate, 36 Rechtecke, 24 Parallelogramme, 24 Trapeze

Bei K6 tauchen dann 48 nicht-planare “Flächen” auf. Die Innenwinkelsumme der 4 Punkte beträgt nur 359.558 Grad.

Ich fürchte, dadurch fällt die Aufgabenstellung in sich zusammen, da die Konstruktionsvorschrift für K6 nicht korrekt ist.

[Anonymous]

Bleiben trotz nicht planarer Vierecke die Kanten gerade? Oder muss man die irgendwann krümmen? Auch wenn ein ebener Schnitt natürlich eleganter wäre, könnte man durch vier eindeutig definierte Kanten ja noch eine Art Seifenhaut legen und die Konstruktionsvorschrift retten.

[Anonymous]

Nur nebenbei: die 12 Parallelogramme von K4 sind sogar Rauten.

[Anonymous]

Nicht nur Zelda, sondern die ganze Aufgabe in Gefahr… das wäre sehr schade, fand sie klasse.
Ein wahrer Thriller die ganze Geschichte und das was mit ihr passiert…

[Anonymous]

K0 : 4 gleichseitige 3-Ecke
K1 : 8 gleichseitige 3-Ecke
K2 : 8 gleichseitige 3-Ecke und 6 Quadrate
K3 : 8 gleichseitige 3-Ecke, 6 Quadrate und 12 Rechtecke
Jede kurze Seite eines Rechtecks ist mit einer Seite eines gleichseitigen Dreiecks verbunden und jede lange Seite ist mit einer Seite eines Quadrates verbunden. Wenn nun K4 gebildet wird entsteht durch Abschneiden einer Ecke aus Quadrat-Rechteck-Dreieck-Rechteck ein Trapez.

Danke! Dann hab ich falsch nummeriert, ich meinte eigentlich K3 statt K4. Ich dachte ursprünglich fälschlicherweise, bei K3 würden Trapeze entstehen. Wie schön, dass K4 meinen Fehler noch rettet 😀

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