Weihnachtsmann rot

Aufgabe vom 21. Dezember

Der Geschenkequader
In einer früheren Version dieser Aufgabe hieß der resultierende Quader nicht G(9), sondern G(8). Dies ist natürlich irreführend, da er nach neun Schritten aus den 512 Quadern Gj(0) entsteht.

Zählen scheint wohl nicht so unsere Stärke zu sein...

Autoren: Ulrich Reitebuch, Martin Skrodzki

Aufgabe:

Die Wichtel wollen einen großen Haufen mit 512 Geschenken möglichst platzsparend lagern. Alle diese Geschenke

  (0)     (0) (0)  (0)
G i  = (xi ,yi  ,zi ),  i = 1,...,512,

sind quaderförmig mit den jeweiligen Breiten xi, Tiefen yi und Höhen zi und haben eine eindeutige Orientierung, da jedes eine Beschriftung mit „oben“ und eine weitere mit „vorne“ besitzt.

Die Wichtel stellen nun fest, dass sich die Geschenke immer zu Paaren

   (0)   (0)
(G j1 ,G j2 ), j1,j2 ∈ {1,...,512},   j1 ⁄= j2,

zusammenschieben lassen, die yz-kompatibel sind. Das heißt, dass sowohl die Tiefen als auch die Höhen übereinstimmen:

y(j01)= y(j02)  und   z(j0)1 = z(j02) .

Somit bilden die zwei Geschenke Gj1(0) und G j2(0) eines Paares gemeinsam einen neuen Quader Gj(1) mit

  • Breite xj(1) = x j1(0) + x j2(0),
  • Tiefe yj(1) = y j1(0) = y j2(0) und
  • Höhe zj(1) = z j1(0) = z j2(0),

siehe Abbildung 1. Außerdem taucht jedes der 512 Geschenke Gi(0) in genau einem solchen Paar genau einmal auf. Die Wichtel können also jeweils zwei Geschenke zusammenschieben und erhalten dann 256 neue Quader Gj(1), j = 1,, 256, mit den jeweiligen Breiten x j(1), Tiefen y j(1) und Höhen zj(1).


PIC

Abbildung 1: Zwei Quader mit gleicher Tiefe und Höhe ergeben einen neuen Quader.

Die Wichtel probieren weiter und stellen fest, dass bei diesen neuen 256 Quadern wieder die Eigenschaft erfüllt ist, dass sie sich paarweise zusammenschieben lassen und 128 neue Quader ergeben, wobei diesmal zwei Quader eines Paares xz-kompatibel sind, also jeweils Breite und Höhe innerhalb eines Paares passen. Im dritten Schritt erzeugen sie 64 Quader durch xy-kompatibles Zusammenschieben, es passen Breite und Tiefe. So schieben sie noch sechs weitere Male, wobei die Boxen-Paare

  • im insgesamt 1., 4. und 7. Schiebevorgang yz-kompatibel,
  • im 2., 5. und 8. Vorgang xz-kompatibel und
  • im 3., 6. und 9. Vorgang xy-kompatibel sind.

Am Ende erhalten sie einen großen Quader G(9), der alle Geschenke G i(0) beinhaltet. Dieser lässt sich sehr gut lagern und zufrieden machen die Wichtel eine Pause.

Zum einfachen Zuschnitt von Geschenkpapier nutzen die Wichtel einen Laser-gestützten-Schnitt-Werkstoff-Trenner, kurz Laser-Sch.Wer.T. Einer der Wichtel will nun gerade mit dem Laser-Sch.Wer.T. Verpackungsmaterial zerschneiden, als er stolpert und einen ebenen, jedoch nicht achsenparallelen Schnitt durch den zusammengestellten Geschenkequader G(9) macht, welcher diesen Quader in zwei jeweils nicht-leere Teile teilt.


PIC

Abbildung 2: Beispiel für einen ebenen, nicht-achsenparallelen Schnitt durch den großen Quader G(9).

Die Aufregung ist groß: Überall liegen kaputte Geschenke in der Wichtelwerkstatt. Aber die Wichtel können nur ahnen, wie viele der 512 Geschenke genau vom Laser-Sch.Wer.T. zerstört wurden, da der Büro-Wichtel leider etwas übereifrig war und die Unterlagen mit den genauen Maßen (xi(0),y i(0),z i(0)), i = 1,, 512. geschreddert hat. Die Wichtel erinnern sich nur noch an die oben beschriebene Eigenschaft des Zusammenschiebens der 512 Geschenkpakete.

Wie viele der 512 Geschenke Gi(0) wurden denn maximal von dem Schnitt in jeweils zwei nicht-leere Teile geteilt?


Illustration: Sonja Rörig

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Antwortmöglichkeiten:

  1. 64

  2. 96

  3. 120

  4. 133

  5. 142

  6. 170

  7. 176

  8. 384

  9. 448

  10. 512

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