17 Lösung / Solution

[Estela]

Teilt hier gerne eure Lösung zu Aufgabe 17  

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[st1974]

Bezeichnet man zwei benachbarte Zahlen mit a und b, dann lassen sich die folgenden Zahlen auf dem Kranz rekursiv darstellen. Dabei stellt man fest, dass die 9. und 10. Zahl wieder a und b sind. Somit hat die allgemeine Lösung eine Periode von 8 Ornamenten. Dies Summe dieser 8 Ornamente ist unabhängig von a und b immer gleich 3. Damit gibt es für n=2024 Ornamente eine eindeutige Lösung mit Summe 759. Im Spezialfall a=1/2 (blau) und b=1/4 (rot) wechseln sich 1/2 und 1/4 immer paarweise ab. Dieses Muster hat dann eine Periode von 2 und lässt sich auch im Fall n=2026 realisieren. Die Summe aller Zahlen ist dann 759,75. Somit ist Antwort 10 richtig: In beiden Fällen gibt es eine eindeutige Summe.

[MatheJuergen]

Ich habe zunächst mal im "Kleinen" probiert und habe mit n = 6 begonnen. Dort findet man schnell die Reihung 1/2 ; 1/4 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/2 ; 1/4. Es gilt ja 1/2 * 1/2 = 1/4 und 1/4 + 1/4 = 1/2.
Das ändert sich auch nicht, falls man n um 2 erhöht und die Reihe entsprechend fortsetzt.
Für n_1= 2024 erhält man jeweils 1012 Mal die Zahlen 1/2 und 1/4 ==> s_1 = 1012 * 3/4 = 759
Für n_2= 2026 erhält man entsprechend: s_2 = 1013 * 3/4 = 759, 75

Somit ergibt sich eine Gesamtsumme s = s_1 + s_2 = 1518, 75   ==> Antwort 10   

[Raaadi]

Ich habe mich auch für 10 entschieden, aber mir fehlt da noch der Beweis, dass nicht evtl. doch entweder 5 oder 6 richtig ist… Es gibt schließlich recht viele positive und negative reelle Zahlen, so dass in dem einen oder anderen Kranz evtl. eine andere Summe als 759 bzw. 759,75 rauskommen kann?!