17 Lösung / Solution

[Estela]

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[st1974]

Bezeichnet man zwei benachbarte Zahlen mit a und b, dann lassen sich die folgenden Zahlen auf dem Kranz rekursiv darstellen. Dabei stellt man fest, dass die 9. und 10. Zahl wieder a und b sind. Somit hat die allgemeine Lösung eine Periode von 8 Ornamenten. Dies Summe dieser 8 Ornamente ist unabhängig von a und b immer gleich 3. Damit gibt es für n=2024 Ornamente eine eindeutige Lösung mit Summe 759. Im Spezialfall a=1/2 (blau) und b=1/4 (rot) wechseln sich 1/2 und 1/4 immer paarweise ab. Dieses Muster hat dann eine Periode von 2 und lässt sich auch im Fall n=2026 realisieren. Die Summe aller Zahlen ist dann 759,75. Somit ist Antwort 10 richtig: In beiden Fällen gibt es eine eindeutige Summe.

[MatheJuergen]

Ich habe zunächst mal im "Kleinen" probiert und habe mit n = 6 begonnen. Dort findet man schnell die Reihung 1/2 ; 1/4 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/2 ; 1/4. Es gilt ja 1/2 * 1/2 = 1/4 und 1/4 + 1/4 = 1/2.
Das ändert sich auch nicht, falls man n um 2 erhöht und die Reihe entsprechend fortsetzt.
Für n_1= 2024 erhält man jeweils 1012 Mal die Zahlen 1/2 und 1/4 ==> s_1 = 1012 * 3/4 = 759
Für n_2= 2026 erhält man entsprechend: s_2 = 1013 * 3/4 = 759, 75

Somit ergibt sich eine Gesamtsumme s = s_1 + s_2 = 1518, 75   ==> Antwort 10   

[Raaadi]

Ich habe mich auch für 10 entschieden, aber mir fehlt da noch der Beweis, dass nicht evtl. doch entweder 5 oder 6 richtig ist… Es gibt schließlich recht viele positive und negative reelle Zahlen, so dass in dem einen oder anderen Kranz evtl. eine andere Summe als 759 bzw. 759,75 rauskommen kann?!

[mbert]

Ich habe mich auch für 10 entschieden, aber mir fehlt da noch der Beweis, dass nicht evtl. doch entweder 5 oder 6 richtig ist… Es gibt schließlich recht viele positive und negative reelle Zahlen, so dass in dem einen oder anderen Kranz evtl. eine andere Summe als 759 bzw. 759,75 rauskommen kann?!

Nein, denn für beliebige, von Null verschiedene Anfangszahlen a und b beträgt die Periode höchstens 8 und die Summe hängt nicht von a und b ab, siehe WolframAlpha.
Übrigens ist "recht viele" eine nette Umschreibung für "überabzählbar unendlich viele".