17 Lösung / Solution

[Estela]

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[st1974]

Bezeichnet man zwei benachbarte Zahlen mit a und b, dann lassen sich die folgenden Zahlen auf dem Kranz rekursiv darstellen. Dabei stellt man fest, dass die 9. und 10. Zahl wieder a und b sind. Somit hat die allgemeine Lösung eine Periode von 8 Ornamenten. Dies Summe dieser 8 Ornamente ist unabhängig von a und b immer gleich 3. Damit gibt es für n=2024 Ornamente eine eindeutige Lösung mit Summe 759. Im Spezialfall a=1/2 (blau) und b=1/4 (rot) wechseln sich 1/2 und 1/4 immer paarweise ab. Dieses Muster hat dann eine Periode von 2 und lässt sich auch im Fall n=2026 realisieren. Die Summe aller Zahlen ist dann 759,75. Somit ist Antwort 10 richtig: In beiden Fällen gibt es eine eindeutige Summe.

[MatheJuergen]

Ich habe zunächst mal im "Kleinen" probiert und habe mit n = 6 begonnen. Dort findet man schnell die Reihung 1/2 ; 1/4 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/2 ; 1/4. Es gilt ja 1/2 * 1/2 = 1/4 und 1/4 + 1/4 = 1/2.
Das ändert sich auch nicht, falls man n um 2 erhöht und die Reihe entsprechend fortsetzt.
Für n_1= 2024 erhält man jeweils 1012 Mal die Zahlen 1/2 und 1/4 ==> s_1 = 1012 * 3/4 = 759
Für n_2= 2026 erhält man entsprechend: s_2 = 1013 * 3/4 = 759, 75

Somit ergibt sich eine Gesamtsumme s = s_1 + s_2 = 1518, 75   ==> Antwort 10   

[Raaadi]

Ich habe mich auch für 10 entschieden, aber mir fehlt da noch der Beweis, dass nicht evtl. doch entweder 5 oder 6 richtig ist… Es gibt schließlich recht viele positive und negative reelle Zahlen, so dass in dem einen oder anderen Kranz evtl. eine andere Summe als 759 bzw. 759,75 rauskommen kann?!

[mbert]

Ich habe mich auch für 10 entschieden, aber mir fehlt da noch der Beweis, dass nicht evtl. doch entweder 5 oder 6 richtig ist… Es gibt schließlich recht viele positive und negative reelle Zahlen, so dass in dem einen oder anderen Kranz evtl. eine andere Summe als 759 bzw. 759,75 rauskommen kann?!

Nein, denn für beliebige, von Null verschiedene Anfangszahlen a und b beträgt die Periode höchstens 8 und die Summe hängt nicht von a und b ab, siehe WolframAlpha.
Übrigens ist "recht viele" eine nette Umschreibung für "überabzählbar unendlich viele".

[marac]

Wenn man mit den Zahlen "a" für das erste Summen-Ornament und "b" für das erste Produkt-Ornament anfängt, kann man die darauffolgenden Zahlen entsprechend mit b/a, b/a-b... bestimmen, und kommt beim neunten bzw. zehnten Element (nach ein bisschen Umformung) wieder a und b heraus, damit ist die Periode der Länge acht schon mal 

klar. Wenn man dann die acht Elemente der Periode addiert, lässt sich das zu (3-3a)/(1-a)=3 zusammenfassen.
Damit funktioniert auf jeden Fall schon mal die 2024 und die Summe ist 3/8*2024=759.

Und damit war ich mir erstmal sicher, dass nur eine Länge funktioniert, hier aber die Summe fix ist. Glücklicherweise gab es diese Antwortmöglichkeit nicht. Also musste es zwingend doch auch eine Möglichkeit für die Länge 2026 geben. Eine Periodenlänge von acht geht hier aber sicher nicht, also konnte es bei Primfaktoren 2x1013 nur eine Länge von 2 sein, und das funktioniert nur dann, wenn 2*a=b und b²=a gilt. Und tatsächlich gibt es hierdoch eine Möglichkeit (1/2 und 1/4), was dann auch gleichzeitig bedeutet, dass die Summe bei den 2026 Elementen genau um 1/2+1/4 größer sein muss, als bei den 2024 Elementen (denn die Summe 3 pro 8 Elemente gilt ja trotzdem).

--> Gesamtsumme = 759*2+0,75 --> Antwort 10