Weihnachtsmann rot

Aufgabe vom 10. Dezember

Renntiere

Autor: Christian Hercher

Aufgabe:

Weihnachten nähert sich mit großen Schritten, und damit auch der große Tag der Rentiere, die den Schlitten des Weihnachtsmanns ziehen. Und wie jedes Jahr gibt es Streit, wer denn an der Spitze der Zugtiere laufen darf. Um hier eine objektive Auswahl treffen zu können, wird ein Einzelzeitrennen unter den Rentieren angesetzt. Dabei gehen die Rentiere nacheinander einzeln auf die Strecke und das schnellste gewinnt den begehrten Platz vor dem Schlitten.

Jedes Rentier kennt natürlich die Zeiten der vor ihm gestarteten. Alle Rentiere sind gleich stark, d. h., wenn sich die Rentiere eine bestimmte Zeit vornehmen, dann erreichen sie diese Zeit mit einer Durchhalte-Wahrscheinlichkeit p, die für alle Rentiere gleich ist, während ihnen mit Wahrscheinlichkeit 1 - p unterwegs die Puste ausgeht, und sie das Rennen folglich abbrechen müssen. (Natürlich fällt p mit höherer Geschwindigkeit.) Bei einem Gleichstand gewinnt jeweils das später gestartete Rentier.

  1. Rudolph tritt nur gegen ein weiteres Rentier an, muss aber als Erster starten. Wie sollte er seine Geschwindigkeit wählen, damit er mit höchstmöglicher Wahrscheinlichkeit gewinnt? (Gesucht ist die zu dieser angestrebten Geschwindigkeit zugehörige Durchhalte-Wahrscheinlichkeit p.)

  2. Nun tritt Rudolph gegen alle Tiere aus seiner Herde an, die (inkl. Rudolph) aus zehn Rentieren besteht. Rudolph muss wieder als Erster starten. Wenn alle Rentiere eine optimale Strategie verfolgen, mit welcher Wahrscheinlichkeit W gewinnt Rudolph dann?

Zusatzfrage: Nun muss sich Rudolph zwar wieder in einem aus zehn Rentieren bestehenden Starterfeld behaupten, startet diesmal jedoch als Letzter. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er in diesem Szenario?

Illustration: Friederike Hofmann

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Antwortmöglichkeiten:

  1. (a) p = 1/3   und   (b) 0% < W ≤ 2%.

  2. (a) p = 1/3   und   (b) 2% < W ≤ 4%.

  3. (a) p = 1/3   und   (b) 4% < W ≤ 5%.

  4. (a) p = 1/2   und   (b) 0% < W ≤ 2%.

  5. (a) p = 1/2   und   (b) 2% < W ≤ 3%.

  6. (a) p = 1/2   und   (b) 3% < W ≤ 4%.

  7. (a) p = 1/2   und   (b) 4% < W ≤ 5%.

  8. (a) p = 2/3   und   (b) 0% < W ≤ 2%.

  9. (a) p = 2/3   und   (b) 2% < W ≤ 4%.

  10. (a) p = 2/3   und   (b) 4% < W ≤ 5%.

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