Weihnachtsmann rot

Aufgabe vom 21. Dezember

Geschenksortierungen

Autoren: Ulrich Reitebuch, Martin Skrodzki

Aufgabe:

Bisher haben die Wichtel des Weihnachtsdorfs die Geschenkpakete immer danach sortiert, wie viele Spielsachen sich in den Paketen befinden. Nach einigen Eingaben der weltweiten Zahnarzt-Vereinigung sollen die Wichtel aber auch einbeziehen, wie viele Süßigkeiten in jedem Paket sind. Jedes Paket P bekommt nun also eine Spiel-Bewertung SP und eine Zucker-Bewertung ZP . Die Bewertungen sind für je zwei Pakete verschieden. Nun wollen die Wichtel die Pakete stapeln und haben sich für die bessere Übersicht zwei Regeln überlegt:

  • Für zwei Pakete P und Q, die nebeneinander stehen, soll gelten, dass P links von Q steht genau dann, wenn SP < SQ.
  • Für zwei Pakete P und Q, die übereinander stehen, soll gelten, dass P unter Q steht genau dann, wenn ZP < ZQ.

Eine erste Lieferung von neun würfelförmigen Paketen trifft ein, sie sollen in drei übereinander stehende Reihen mit je drei Paketen sortiert werden . Die Pakete sind für die Kinder so bestückt, dass weniger Spielzeug durch mehr Zuckerzeug ausgeglichen wird. Die Bewertungen (SP ,ZP ) sind: (1, 9), (2, 8), (3, 7),, (9, 1).

Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Pakete als 3 × 3-Stapel abzulegen, sodass beide Stapelregeln erfüllt sind? (Hinweis: Die Frage, ob der Stapel von beiden Seiten betrachtet werden kann, verbietet sich dadurch, dass links nur von einer Seite aus eindeutig definiert ist.)

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Antwortmöglichkeiten:

  1. 1

  2. 2

  3. 3

  4. 9

  5. 11

  6. 12

  7. 13

  8. 16

  9. 21

  10. 42

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Projektbezug:

Die Frage taucht in Bezug auf die kombinatorische Ordnung von geometrischen Punktwolken auf. Will man n2 Punkte (x 1,y1),, (xn2,yn2), n , in einem n×n Gitter so anordnen, dass die Reihen von links nach rechts aufsteigende x-Koordinate, die Spalten von unten nach oben aufsteigende y-Koordinate aufweisen, so gibt es für gegebenes n nur endlich viele kombinatorische Möglichkeiten, das Gitter zu füllen – unabhängig von den konkreten Punktkoordinaten. Das Gitter findet Anwendung in der Bestimmung von Nachbarschaften. Dies ist zum Beispiel in biologischen Zellsimulationen, physikalischen Partikelsimulationen, oder bei der Verarbeitung großer Datenmengen aus 3D-Scannern von Bedeutung.