Weihnachtsmann rot

Aufgabe vom 9. Dezember

Zertifizierte Plätzchen aus dem 19. Jahrhundert

Autoren: Rafael Arndt, Caroline Löbhard, Simon Rösel

Aufgabe:

„Oh jemine, dieses Jahr ist es wirklich schlimm“, dachte sich der Weihnachtsmann als er mitten im Advent grübelnd in der Weihnachtsbäckerei saß. Es mussten doch unbedingt wieder die tollen Weihnachtsplätzchen gebacken werden, auf die sich die Kinder am Heiligen Abend seit mehr als einem Jahrhundert so sehr freuen. Leider hatten die Weihnachtselfen mal wieder geschlampt und das traditionelle Rezept aus dem Jahre 1892 „irgendwo auf dem Weg zum Nordpol bei einem Schlittenrennen“ verloren. Zum Glück konnte sich der Weihnachtsmann daran erinnern, dass dieses ungemein erfolgreiche Rezept genau eine Tonne Mehl, 4000 frische Eier, 800kg Butter, 200kg Zucker, eine Prise Zimt (ganz wichtig!), sowie eine gewisse Menge an Salz und/oder gemahlenen Mandeln enthielt. Auf Nachfrage bei den Elfen hieß es, dass ihnen die optimale Menge an Mandeln und Salz auch nicht bekannt sei. Sie hätten sich aber zumindest die geheime Plätzchen-Geschmacksfunktion G notiert, die durch jahrelanges Experimentieren (und nach zahlreichen Klagen enttäuschter Kinder) in mühevoller Kleinarbeit bestimmt wurde. Der Geschmack wird nämlich durch die Funktion

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beschrieben, wobei m die Menge an gemahlenen Mandeln (gemessen in Kilogramm (kg)) und s die Menge an Salz (in Gramm (g)) ist. Weiter meinten die Elfen, dass „das gelungene 1892er-Rezept dadurch bestimmt ist, dass sich der Geschmack nicht verbessern kann, wenn man, ausgehend von der 1892er-Mandel/Salz-Kombination, ein anderes zertifiziertes Rezept verwendet, dessen Mandel- und Salzgehalt sich um jeweils maximal 40kg bzw. 800g von der Kombination des Jahres 1892 unterscheidet.“

Natürlich wusste der Weihnachtsmann, dass die Elfen in Folge der großen Plätzchenkatastrophe des Jahres 1984 ein ausgeklügeltes Sicherheitssystem entworfen hatten, das für zukünftige Experimente nur solche Rezepte zertifizierte, die die Eigenschaft haben, dass die Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Mandel- und Salzmenge (gemessen in kg bzw. g) stets kleiner oder gleich der Mandelmenge des Rezeptes von 1892 ist. Weiter muss jedes Rezept für die Zertifizierung natürlich Mandeln, aber nicht unbedingt Salz enthalten.

Die Hinweise der Elfen ließen den Weihnachtsmann ratlos zurück. Er war sich lediglich sicher, dass das 1892er-Rezept maximal 100 kg gemahlene Mandeln bzw. 5000g Salz enthält, und, dass dieses Rezept natürlich selbst zertifiziert ist.

Nun ist er auf eure Hilfe angewiesen. Wieviel Salz und gemahlene Mandeln enthält das Rezept des Jahres 1892?

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Antwortmöglichkeiten:

  1. 0kg Mandeln, 0g Salz

  2. 0kg Mandeln, 4151g Salz

  3. 20kg Mandeln, 4151g Salz

  4. 100kg Mandeln, 4151g Salz

  5. 32kg Mandeln, 0g Salz

  6. 60kg Mandeln, 4151g Salz

  7. 32kg Mandeln, 4151g Salz

  8. 80kg Mandeln, 0g Salz

  9. 80kg Mandeln, 4151g Salz

  10. 100kg Mandeln, 0g Salz.

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Projektbezug:

Die obige Aufgabe kann als restringiertes Optimierungsproblem aufgefasst werden, bei dem die zulässige Menge von der Lösung abhängt. Im weiteren Sinn handelt es sich hierbei um eine Quasivariationsungleichung.

Die Untersuchung von Quasivariationsungleichungen und deren Steuerung stellt einen aktuellen Forschungsgegenstand in der Mathematischen Optimierung dar und wartet mit einer Reihe von interessanten Aspekten aber auch vielen Fragestellungen auf. Dies betrifft z.B. die Lösbarkeit und die Stabilität solcher Probleme. Nicht zuletzt möchte man auch effiziente numerische Lösungsverfahren entwickeln.

Quasivariationsungleichungen dienen als mathematisches Modell für viele Probleme aus verschiedenen Fachgebieten. Hierzu zählen beispielsweise das Verhalten von Bakterien, die mechanische Reibung zwischen zwei Objekten in Kontakt oder das Wachstum von Sanddünen. In der Finanzmathematik treten Quasivariationsungleichungen im Zusammenhang mit der Interaktion und Strategieoptimierung verschiedener Markteilnehmer auf (Spieltheorie).