Antwort 2 (k=2) sollte korrekt sein, wenn ich keinen Denkfehler in meinem Widerspruchsbeweis habe?
Obere Schranke:
Für k=2 nehme ich an, es wäre eine Blockadesituation möglich und führe dies zum Widerspruch.
Untere Schranke (k>1):
Ich gebe für n=99 und k=1 eine konkrete Konstruktion einer guten Menge G an, in der tatsächlich jedes paar mit GENAU EINEM Spieler ein gutes Team bildet. Damit ist wie schon im Aufgabentext beschrieben natürlich kein Durchwechseln möglich:
Zunächst stellt man fest, dass dies nur für n=6r+1 bzw. für n=6r+3 möglich ist: 99=16*6+3.
Eine konkrete graphische Konstruktion gelingt in einem 33x3 Feld, wobei die Spieler 0..98 zunächst in Punktpaare (x,y) verwandelt werden: Zuordnung: a/3= x Rest y
Anmerkung zur Lösungsskizze: In der Restklassengruppe Z_33 hat 2 das multiplikativ inverse Element 17:
2*17=34 = 1 mod 33. Daher funktioniert das mit dem arithmetischen Mittel von x und y in Z_33 in der Konstruktion - es gibt natürlich noch viele andere Konstruktionsmöglichkeiten. Dies ist nur ein Weg unter vielen.
(12-22-2025, 04:29 PM)pierrot schrieb: Antwort 2 (k=2) sollte korrekt sein, wenn ich keinen Denkfehler in meinem Widerspruchsbeweis habe?
Obere Schranke:
Für k=2 nehme ich an, es wäre eine Blockadesituation möglich und führe dies zum Widerspruch.
Untere Schranke (k>1):
Ich gebe für n=99 und k=1 eine konkrete Konstruktion einer guten Menge G an, in der tatsächlich jedes paar mit GENAU EINEM Spieler ein gutes Team bildet. Damit ist wie schon im Aufgabentext beschrieben natürlich kein Durchwechseln möglich:
Zunächst stellt man fest, dass dies nur für n=6r+1 bzw. für n=6r+3 möglich ist: 99=16*6+3.
Eine konkrete graphische Konstruktion gelingt in einem 33x3 Feld, wobei die Spieler 0..98 zunächst in Punktpaare (x,y) verwandelt werden: Zuordnung: a/3= x Rest y
Anmerkung zur Lösungsskizze: In der Restklassengruppe Z_33 hat 2 das multiplikativ inverse Element 17:
2*17=34 = 1 mod 33. Daher funktioniert das mit dem arithmetischen Mittel von x und y in Z_33 in der Konstruktion - es gibt natürlich noch viele andere Konstruktionsmöglichkeiten. Dies ist nur ein Weg.
Ich hing auch lange an der Vorstellung, dass k=2 sein müsste. Dein Widerspruchsbeweis hat jedoch eine Lücke: Du nimmst an, dass du nur zwei disjunkte Mengen hast. Jedoch kann ein Paar (A,B) von Spielern Teil einer Menge M3 sein. Du kannst nicht sagen, dass alle Einwechslungen, die nicht in M1 sind, automatisch in M2 sein müssen. Ein so konstruiertes M2 kann dann nämlich sehr wohl alle Spieler mindestens einmal enthalten, ohne dass eine Einwechslung zwischen all diesen Spielern möglich ist.
Habe keine Ahnung. Dachte 50 als Mittelwert sollte genügen, damit es immer möglich ist eine 3er Kombination zu finden, egal wie die 3er Kombinationen definiert worden sind zufällig. Und damit es in den 3er Kombinationen selber keine Schleifen gibt im Sinne von (a,b,c), (b,c,d), (c,d,a), (a,b,d) oder so
(12-22-2025, 04:29 PM)pierrot schrieb: Antwort 2 (k=2) sollte korrekt sein, wenn ich keinen Denkfehler in meinem Widerspruchsbeweis habe?
Obere Schranke:
Für k=2 nehme ich an, es wäre eine Blockadesituation möglich und führe dies zum Widerspruch.
Untere Schranke (k>1):
Ich gebe für n=99 und k=1 eine konkrete Konstruktion einer guten Menge G an, in der tatsächlich jedes paar mit GENAU EINEM Spieler ein gutes Team bildet. Damit ist wie schon im Aufgabentext beschrieben natürlich kein Durchwechseln möglich:
Zunächst stellt man fest, dass dies nur für n=6r+1 bzw. für n=6r+3 möglich ist: 99=16*6+3.
Eine konkrete graphische Konstruktion gelingt in einem 33x3 Feld, wobei die Spieler 0..98 zunächst in Punktpaare (x,y) verwandelt werden: Zuordnung: a/3= x Rest y
Anmerkung zur Lösungsskizze: In der Restklassengruppe Z_33 hat 2 das multiplikativ inverse Element 17:
2*17=34 = 1 mod 33. Daher funktioniert das mit dem arithmetischen Mittel von x und y in Z_33 in der Konstruktion - es gibt natürlich noch viele andere Konstruktionsmöglichkeiten. Dies ist nur ein Weg.
Ich hing auch lange an der Vorstellung, dass k=2 sein müsste. Dein Widerspruchsbeweis hat jedoch eine Lücke: Du nimmst an, dass du nur zwei disjunkte Mengen hast. Jedoch kann ein Paar (A,B) von Spielern Teil einer Menge M3 sein. Du kannst nicht sagen, dass alle Einwechslungen, die nicht in M1 sind, automatisch in M2 sein müssen. Ein so konstruiertes M2 kann dann nämlich sehr wohl alle Spieler mindestens einmal enthalten, ohne dass eine Einwechslung zwischen all diesen Spielern möglich ist.
Merci für die schnelle Reaktion :-) Werde mir deine Lösung bei Zeit mal in Ruhe anschauen - bin gespannt!!
Mein Vorschlag: Lösung 8
Jedes mögliche Paar muss mit mindestens 48 anderen Spielern gut zusammenspielen.
Die Idee dahinter ist, dass es bei den 99 Spielern keine Teilung in zwei Gruppen geben darf, die jeweils nur untereinander gut zusammenspielen.
Es könnten sonst alle Paare der Spieler 1-49 mit allen anderen Spielern aus 1-49 gut zusammenspielen (also jedes Paar mit den 47 anderen) und genauso die Spieler 50-99 untereinander.
Wenn aber jedes Paar mit 48 anderen Spielern gut zusammenspielt, gibt es zwangsläufig eine Überschneidung bei den beiden Gruppen, sodass eine Einwechslung aller möglich ist.
Die beiden Gruppen überschneiden sich dann um mindestens 2 Spieler, was nötig ist, um bei der Einwechslung den Übergang von der ersten zur zweiten Gruppe zu schaffen:
Gruppe 1-50 (jedes Paar mit den 48 anderen aus der Gruppe) und Gruppe 49-99, Überschneidung bei Spielern 49 und 50.
Aus meiner Sicht besteht das Problem darin, dass es Cluster von gut zusammenspielenden Spielern geben kann, bei denen der saubere Übergang von einem Cluster zum anderen (durch ein in beiden Clustern verankertes Paar) nicht gegeben ist. So wären etwa 11 Cluster denkbar, in denen jedes Paar von Spielern mit jedem der 7 übrigen Spieler dieses Clusters eine gute Dreierkombinationen bildet. Wie groß kann nun k werden, ohne dass es zu einer genügenden Überschneidung von Clustern kommt?
Bei k=47 könnte es so z.B. zwei Cluster von jeweils 49 Spielern geben, bei denen jeweils jede Dreier-Kombination gut miteinander spielt. Zusammen ergibt das 98 Spieler. Der 99. Spieler könnte in einer der beiden Gruppen sein und die "Perfektion" dieses Clusters unerheblich schmälern. Beide Cluster wären im ungünstigsten Fall ohne jegliche Überschneidung.
Bei k=48 könnte es entsprechend zwei Cluster von jeweils 50 Spielern geben, bei denen jeweils jede Dreier-Kombination gut miteinander spielt. Zusammen ergibt das 100 Spieler. Zumindest ein Spieler müsste damit in beiden Clustern "verbandelt" sein. Für einen "sauberen" Wechsel von Cluster 1 zu Cluster 2 ist jedoch ein Paar erforderlich, das in beiden Clustern performt.
Bei k=49 könnte es zwei Cluster von jeweils 51 Spielern geben, bei denen jeweils jede Dreier-Kombination gut miteinander spielt. Zusammen ergibt das 102 Spieler. Zumindest drei Spieler müssten damit in beiden Clustern verbandelt sein. Erst das reicht dann sicher für einen Übergang von einem Cluster zum anderen, bei ungünstigster Zusammenstellung der möglichen Dreierteams.
Ausgehend von dieser Überlegung habe ich Lösung 9 eingeloggt.
(12-22-2025, 05:59 PM)Thomath schrieb: Aus meiner Sicht besteht das Problem darin, dass es Cluster von gut zusammenspielenden Spielern geben kann, bei denen der saubere Übergang von einem Cluster zum anderen (durch ein in beiden Clustern verankertes Paar) nicht gegeben ist. So wären etwa 11 Cluster denkbar, in denen jedes Paar von Spielern mit jedem der 7 übrigen Spieler dieses Clusters eine gute Dreierkombinationen bildet. Wie groß kann nun k werden, ohne dass es zu einer genügenden Überschneidung von Clustern kommt?
Bei k=47 könnte es so z.B. zwei Cluster von jeweils 49 Spielern geben, bei denen jeweils jede Dreier-Kombination gut miteinander spielt. Zusammen ergibt das 98 Spieler. Der 99. Spieler könnte in einer der beiden Gruppen sein und die "Perfektion" dieses Clusters unerheblich schmälern. Beide Cluster wären im ungünstigsten Fall ohne jegliche Überschneidung.
Bei k=48 könnte es entsprechend zwei Cluster von jeweils 50 Spielern geben, bei denen jeweils jede Dreier-Kombination gut miteinander spielt. Zusammen ergibt das 100 Spieler. Zumindest ein Spieler müsste damit in beiden Clustern "verbandelt" sein. Für einen "sauberen" Wechsel von Cluster 1 zu Cluster 2 ist jedoch ein Paar erforderlich, das in beiden Clustern performt.
Bei k=49 könnte es zwei Cluster von jeweils 51 Spielern geben, bei denen jeweils jede Dreier-Kombination gut miteinander spielt. Zusammen ergibt das 102 Spieler. Zumindest drei Spieler müssten damit in beiden Clustern verbandelt sein. Erst das reicht dann sicher für einen Übergang von einem Cluster zum anderen, bei ungünstigster Zusammenstellung der möglichen Dreierteams.
Ausgehend von dieser Überlegung habe ich Lösung 9 eingeloggt.
Ich habe ziemlich das gleiche gedacht. Aber dann die falsche Frage beantworten. Nämlich das größte k, bei dem es nicht funktioniert. Mist.
