Sei im Folgenden immer die Kiste mit den wenigsten Nüssen zuerst und die mit den meisten Nüssen zuletzt genannt.
Bei (0, 0, c) verliert per Definition der Spieler, der gerade am Zug ist.
Bei (0, b, c) mit b>0 gewinnt der Spieler, der am Zug ist, denn dieser kann die zweite Kiste leeren und damit den obigen verlierenden Zustand herstellen.
Es verliert also der Spieler, der diesen Zustand (0, b, c) herstellt. Dies ist genau dann erzwungen, wenn die ersten beiden Kisten jeweils eine Nuss enthalten.
Damit ist also auch (1, 1, c) ein verlierender Zustand, während (1, b, c) mit b>1 ein gewinnender Zustand ist, da dieser in (1, 1, c) überführbar ist.
Damit ist (2, 2, c) ein verlierender Zustand, denn dann hat man keine Wahl, als den Gegner mit entweder (0, 2, c) oder (1, 2, c) gewinnen zu lassen.
Per Induktion lässt sich zeigen, dass die verlierenden Zustände gerade die sind, bei denen die ersten zwei Kisten gleich viele Nüsse enthalten. Die optimale Strategie ist dann, bei (a, b, c) mit b>a von der zweiten in die dritte Kiste genau b-a Nüsse zu verschieben, sodass der Gegner den verlierenden Zustand (a, a, c+b-a) vor sich hat.
Das heißt, wenn man mit (a, b, c) startet, gewinnt B als zweiter Spieler genau dann, wenn a=b.
Es gibt 676 solche Kombinationen: (0, 0, 2025), (1, 1, 2023), ..., (675, 675, 675).
Für die Lösung muss man dies dann durch die Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen teilen, da alle gleich wahrscheinlich sind.
Bei a=0 hat man 1013 Möglichkeiten: (0, 0, 2025), ..., (0, 1012, 1013)
Bei a=1 hat man 1012 Möglichkeiten: (1, 1, 2023), ..., (1, 1012, 1012)
Bei a=2 hat man 1010 Möglichkeiten: (2, 2, 2021), ..., (2, 1011, 1012)
Bei a=3 hat man 1009 Möglichkeiten: (3, 3, 2019), ..., (3, 1011, 1011)
...
Bei a=674 hat man 2 Möglichkeiten: (674, 674, 677), (674, 675, 676)
Bei a=675 hat man eine Möglichkeit: (675, 675, 675)
Insgesamt kommt man also auf 1 + 2 + 4 + 5 + ... + 1012 + 1013 Kombinationen, also sum_(n=0^337) 3n+1 + 3n+2 = 6*338*337/2 + 3*338 = 342732.
Dabei ist 676/342732 etwa 0.00197 oder 0.2%.
(12-22-2025, 04:34 PM)PhiSigma schrieb: Sei im Folgenden immer die Kiste mit den wenigsten Nüssen zuerst und die mit den meisten Nüssen zuletzt genannt.
Bei (0, 0, c) verliert per Definition der Spieler, der gerade am Zug ist.
Bei (0, b, c) mit b>0 gewinnt der Spieler, der am Zug ist, denn dieser kann die zweite Kiste leeren und damit den obigen verlierenden Zustand herstellen.
Es verliert also der Spieler, der diesen Zustand (0, b, c) herstellt. Dies ist genau dann erzwungen, wenn die ersten beiden Kisten jeweils eine Nuss enthalten.
Damit ist also auch (1, 1, c) ein verlierender Zustand, während (1, b, c) mit b>1 ein gewinnender Zustand ist, da dieser in (1, 1, c) überführbar ist.
Damit ist (2, 2, c) ein verlierender Zustand, denn dann hat man keine Wahl, als den Gegner mit entweder (0, 2, c) oder (1, 2, c) gewinnen zu lassen.
Per Induktion lässt sich zeigen, dass die verlierenden Zustände gerade die sind, bei denen die ersten zwei Kisten gleich viele Nüsse enthalten. Die optimale Strategie ist dann, bei (a, b, c) mit b>a von der zweiten in die dritte Kiste genau b-a Nüsse zu verschieben, sodass der Gegner den verlierenden Zustand (a, a, c+b-a) vor sich hat.
Das heißt, wenn man mit (a, b, c) startet, gewinnt B als zweiter Spieler genau dann, wenn a=b.
Es gibt 676 solche Kombinationen: (0, 0, 2025), (1, 1, 2023), ..., (675, 675, 675).
Für die Lösung muss man dies dann durch die Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen teilen, da alle gleich wahrscheinlich sind.
Bei a=0 hat man 1013 Möglichkeiten: (0, 0, 2025), ..., (0, 1012, 1013)
Bei a=1 hat man 1012 Möglichkeiten: (1, 1, 2023), ..., (1, 1012, 1012)
Bei a=2 hat man 1010 Möglichkeiten: (2, 2, 2021), ..., (2, 1011, 1012)
Bei a=3 hat man 1009 Möglichkeiten: (3, 3, 2019), ..., (3, 1011, 1011)
...
Bei a=674 hat man 2 Möglichkeiten: (674, 674, 677), (674, 675, 676)
Bei a=675 hat man eine Möglichkeit: (675, 675, 675)
Insgesamt kommt man also auf 1 + 2 + 4 + 5 + ... + 1012 + 1013 Kombinationen, also sum_(n=0^337) 3n+1 + 3n+2 = 6*338*337/2 + 3*338 = 342732.
Dabei ist 676/342732 etwa 0.00197 oder 0.2%.
Ja das habe ich fast auch so. Aber ein kleiner Fehler müsste drin sein. Jede Kiste enthält mindestens 1 Nuss von Anfang an!
Damit sind die Werte:
675 / 341719 etwa 0,001975 also 0,2%
Eine der besten Aufgaben finde ich - Nim-Spiele gab es länger nicht mehr im Kalender. Bzw "nimmt" man hier ja nicht weg, sondern verschiebt :-)
also "Verschieb-Spiel".
By the way - warum man Nim-Spiel mit einem "m" schreibt habe ich noch nie kapiert...
Ich komme auf einen etwas anderen Bruch - nämlich 675/341719 ist aber auch ungefähr 0,2%
(12-22-2025, 05:34 PM)pierrot schrieb: Eine der besten Aufgaben finde ich - Nim-Spiele gab es länger nicht mehr im Kalender. Bzw "nimmt" man hier ja nicht weg, sondern verschiebt :-)
also "Verschieb-Spiel".
By the way - warum man Nim-Spiel mit einem "m" schreibt habe ich noch nie kapiert...
Ich komme auf einen etwas anderen Bruch - nämlich 675/341719 ist aber auch ungefähr 0,2%
Es handelt sich um eine leichte Variation des Nim-Spiels mit zwei Haufen. Die dritte Kiste spielt keine Rolle. Daher gewinnt immer der Spieler, bei dem die übertraglose Summe im Binärsystem (XOR) der Haufen Null ergibt.
(12-22-2025, 05:34 PM)pierrot schrieb: Eine der besten Aufgaben finde ich - Nim-Spiele gab es länger nicht mehr im Kalender. Bzw "nimmt" man hier ja nicht weg, sondern verschiebt :-)
also "Verschieb-Spiel".
By the way - warum man Nim-Spiel mit einem "m" schreibt habe ich noch nie kapiert...
Ich komme auf einen etwas anderen Bruch - nämlich 675/341719 ist aber auch ungefähr 0,2%
Ich habe zuerst untersucht wann B gewinnt, dies sind 675 Fälle und mir dann überlegt wie viele Möglichkeiten es gibt 2025 in eine Summe von 3 Summanden zu zerlegen (341 719), somit erhalte ich:
675 / 341719 = ca. 0,0019753..... = ca. 0,19753 %.
(12-22-2025, 04:34 PM)PhiSigma schrieb: Sei im Folgenden immer die Kiste mit den wenigsten Nüssen zuerst und die mit den meisten Nüssen zuletzt genannt.
Bei (0, 0, c) verliert per Definition der Spieler, der gerade am Zug ist.
Bei (0, b, c) mit b>0 gewinnt der Spieler, der am Zug ist, denn dieser kann die zweite Kiste leeren und damit den obigen verlierenden Zustand herstellen.
Es verliert also der Spieler, der diesen Zustand (0, b, c) herstellt. Dies ist genau dann erzwungen, wenn die ersten beiden Kisten jeweils eine Nuss enthalten.
Damit ist also auch (1, 1, c) ein verlierender Zustand, während (1, b, c) mit b>1 ein gewinnender Zustand ist, da dieser in (1, 1, c) überführbar ist.
Damit ist (2, 2, c) ein verlierender Zustand, denn dann hat man keine Wahl, als den Gegner mit entweder (0, 2, c) oder (1, 2, c) gewinnen zu lassen.
Per Induktion lässt sich zeigen, dass die verlierenden Zustände gerade die sind, bei denen die ersten zwei Kisten gleich viele Nüsse enthalten. Die optimale Strategie ist dann, bei (a, b, c) mit b>a von der zweiten in die dritte Kiste genau b-a Nüsse zu verschieben, sodass der Gegner den verlierenden Zustand (a, a, c+b-a) vor sich hat.
Das heißt, wenn man mit (a, b, c) startet, gewinnt B als zweiter Spieler genau dann, wenn a=b.
Es gibt 676 solche Kombinationen: (0, 0, 2025), (1, 1, 2023), ..., (675, 675, 675).
Für die Lösung muss man dies dann durch die Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen teilen, da alle gleich wahrscheinlich sind.
Bei a=0 hat man 1013 Möglichkeiten: (0, 0, 2025), ..., (0, 1012, 1013)
Bei a=1 hat man 1012 Möglichkeiten: (1, 1, 2023), ..., (1, 1012, 1012)
Bei a=2 hat man 1010 Möglichkeiten: (2, 2, 2021), ..., (2, 1011, 1012)
Bei a=3 hat man 1009 Möglichkeiten: (3, 3, 2019), ..., (3, 1011, 1011)
...
Bei a=674 hat man 2 Möglichkeiten: (674, 674, 677), (674, 675, 676)
Bei a=675 hat man eine Möglichkeit: (675, 675, 675)
Insgesamt kommt man also auf 1 + 2 + 4 + 5 + ... + 1012 + 1013 Kombinationen, also sum_(n=0^337) 3n+1 + 3n+2 = 6*338*337/2 + 3*338 = 342732.
Dabei ist 676/342732 etwa 0.00197 oder 0.2%.
Ja das habe ich fast auch so. Aber ein kleiner Fehler müsste drin sein. Jede Kiste enthält mindestens 1 Nuss von Anfang an!
Damit sind die Werte:
675 / 341719 etwa 0,001975 also 0,2%
Ja, ist richtig, ich habe meine Notizen nicht mehr gefunden und die Lösung aus dem Gedächtnis aufgeschrieben und dabei nicht daran gedacht, die Aufgabenstellung nochmal ordentlich zu lesen. Dein Bruch ist der richtige.
