Genau diese Frage hatte ich mir auch schon gestellt und hatte endlich Anlass am 6.12 ihr auf den Grund zu gehen.
Klassisches Beispiel für einen Eulerweg. Man muss unten starten und unten ankommen (ungerade Knoten nur unten).
Also Obergrenze 2/5. Nun sind aber nicht alle Wege, die unten starten, gut!
Wenn man unten startet, kann man zeigen (siehe Lösungsskizze unten), dass
- 2/3 der Wege erfolgreich sind, wenn man unten zur anderen unteren Ecke startet
- 8/9 der Wege erfolgreich sind, wenn man nach oben geht: egal ob gerade nach oben oder diagonal nach oben.
Insgesamt führen dann 2/5*(1/3*2/3 + 2/3*8/9)= 44/135=0,3 259 259 259 259... zum Ziel. Also ist die 100. Ziffer die 9: 100 kongruent 4 mod 3.
Meine Lösung basiert auf der Erkenntnis, dass es ingesamt 54 Möglichkeiten geben kann, die erfolgreich sind (wenn man unten startet; die anderen Fälle gehen ja logischerweise nicht). Von diesen 54 Möglichkeiten malt man sich auf, dass 10 nicht gehen und erhält dann 44/54 Möglichkeiten, die gehen und die nimmt man analog zu dir mit 2/5 mal...
Meine Lösung ist die 5:
Da man an den Knoten mit ungerader Kantenzahl starten muss, besteht für die richtige Wahl des Anfangspunktes die Wahrscheinlichkeit 2/5. An den Knoten mit gerader Kantenzahl geht es immer weiter, weil zu jedem Weg rein auch ein Weg raus existiert. Das vollständige Haus kann also nur dann nicht gezeichnet werden, wenn das obere Giebeldreieck weggelassen wird. Das kann aber nur passieren, wenn an den beiden mittelhohen Knoten jeweils beim ersten Eintreffen genau 1 von 3 möglichen Wegen gewählt wird, also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/9. Folglich wird das Haus mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/5 * 8/9 = 16/45 =0,35555... richtig gezeichnet.
Edit: diese Lösung ist leider falsch, weil nicht nur das Giebeldreieck, sondern auch andere geschlossene Pfade weggelassen werden können, um das Haus unvollständig zu zeichnen, siehe Antwort auf Post #5, sobald sie freigegeben wurde.
(Heute, 02:03 AM)rs3095 schrieb: Meine Lösung ist die 5:
Da man an den Knoten mit ungerader Kantenzahl starten muss, besteht für die richtige Wahl des Anfangspunktes die Wahrscheinlichkeit 2/5. An den Knoten mit gerader Kantenzahl geht es immer weiter, weil zu jedem Weg rein auch ein Weg raus existiert. Das vollständige Haus kann also nur dann nicht gezeichnet werden, wenn das obere Giebeldreieck weggelassen wird. Das kann aber nur passieren, wenn an den beiden mittelhohen Knoten jeweils beim ersten Eintreffen genau 1 von 3 möglichen Wegen gewählt wird, also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/9. Folglich wird das Haus mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/5 * 8/9 = 16/45 =0,35555... richtig gezeichnet.
Ich denke, du hast etwas übersehen. Nämlich die folgende Situation: Du startest unten links. Dann zeichnest du: nach unten rechts, nach oben rechts, nach oben links, nach unten rechts. Dann bist du in einer Sackgasse, weil du zu früh zum Endpunkt kommst. Dann fehlt aber neben dem Dach noch die linke Seite und eine Diagonale.
(Heute, 02:03 AM)rs3095 schrieb: Meine Lösung ist die 5:
Da man an den Knoten mit ungerader Kantenzahl starten muss, besteht für die richtige Wahl des Anfangspunktes die Wahrscheinlichkeit 2/5. An den Knoten mit gerader Kantenzahl geht es immer weiter, weil zu jedem Weg rein auch ein Weg raus existiert. Das vollständige Haus kann also nur dann nicht gezeichnet werden, wenn das obere Giebeldreieck weggelassen wird. Das kann aber nur passieren, wenn an den beiden mittelhohen Knoten jeweils beim ersten Eintreffen genau 1 von 3 möglichen Wegen gewählt wird, also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/9. Folglich wird das Haus mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/5 * 8/9 = 16/45 =0,35555... richtig gezeichnet.
Ich denke, du hast etwas übersehen. Nämlich die folgende Situation: Du startest unten links. Dann zeichnest du: nach unten rechts, nach oben rechts, nach oben links, nach unten rechts. Dann bist du in einer Sackgasse, weil du zu früh zum Endpunkt kommst. Dann fehlt aber neben dem Dach noch die linke Seite und eine Diagonale.
Tatsächlich, nicht nur das Giebeldreieck kann ausgelassen werden, sondern bei gewähltem Ausgangspunkt auch noch zwei andere geschlossene Pfade, deren Auslassung mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/27 eintritt. Die hatte ich in der Tat übersehen. Damit kommt man dann auch auf 2/5 * (1 - 1/9 - 2/27) = 44/135.
