Ich hatte mir erstmal überlegt: Die Kurve berührt sich selbst, wenn es t1 und t2 gibt, sodass gleichzeitig sin(a t1) = sin(a t2) und sin(b t1) = sin(b t2) ist.
Dabei ist sin(a t1) = sin(a t2) genau dann, wenn |a t1 - a t2| ein ganzzahliges Vielfaches von 2 pi ist (d.h. periodische Wiederholung) oder wenn a t1 = pi/2 - x, a t2 = pi/2 + x + 2 pi k (x beliebig, k ganzzahlig) bzw. a t1 + a t2 ein ungerades Vielfaches von pi ist (die Achsensymmetrie der Sinuskurve in pi/2).
Dann ist mir aufgefallen, dass ersteres für die Drohnen unproblematisch ist, da man dann ja nur die Kurve an einer Stelle berührt bzw. nochmal nachzieht, wo längst keine Drohnen mehr sind. Für die Aufgabe ist nur die Situation relevant, dass für irgendwelche t1, t2 sowohl a(t1+t2) als auch b(t1+t2) ungerade Vielfache von pi sind, also a(t1+t2) = (2m+1) pi, b(t1+t2) = (2n+1) pi für ganzzahlige m, n. Es folgt, dass a(t1+t2)/(b(t1+t2)) = a/b = (2m+1)/(2n+1). Damit das Problem auftritt, muss also der Bruch aus a/b so gekürzt* werden können, dass Zähler und Nenner ungerade sind. Umgekehrt, wenn dies der Fall ist, also a=(2m+1)k und b=(2n+1)k mit ganzzahligem k, dann kann man einfach t1+t2=pi/k setzen (z.B. t1=0, t2=pi/k < 2pi) und zeigen, dass das Problem auch wirklich auftritt.
Die Antwort ist also: Dies passiert genau dann, wenn der Bruch aus a/b so gekürzt werden kann, dass Zähler und Nenner beide ungerade sind - was äquivalent zu Antwortmöglichkeit 8 ist.
*Man kann hier davon ausgehen, dass (2m+1)/(2n+1) teilerfremd sind, der Bruch also vollständig gekürzt ist, denn wenn dies nicht der Fall wäre, könnte man einfach den Bruch vollständig kürzen, weiterhin einen ungeraden Zähler und Nenner haben und damit neue Werte für m und n finden, sodass (2m+1)/(2n+1) teilerfremd sind. Damit ist dann garantiert, dass a und b ganzzahlige Vielfache von Zähler und Nenner sind.
Dabei ist sin(a t1) = sin(a t2) genau dann, wenn |a t1 - a t2| ein ganzzahliges Vielfaches von 2 pi ist (d.h. periodische Wiederholung) oder wenn a t1 = pi/2 - x, a t2 = pi/2 + x + 2 pi k (x beliebig, k ganzzahlig) bzw. a t1 + a t2 ein ungerades Vielfaches von pi ist (die Achsensymmetrie der Sinuskurve in pi/2).
Dann ist mir aufgefallen, dass ersteres für die Drohnen unproblematisch ist, da man dann ja nur die Kurve an einer Stelle berührt bzw. nochmal nachzieht, wo längst keine Drohnen mehr sind. Für die Aufgabe ist nur die Situation relevant, dass für irgendwelche t1, t2 sowohl a(t1+t2) als auch b(t1+t2) ungerade Vielfache von pi sind, also a(t1+t2) = (2m+1) pi, b(t1+t2) = (2n+1) pi für ganzzahlige m, n. Es folgt, dass a(t1+t2)/(b(t1+t2)) = a/b = (2m+1)/(2n+1). Damit das Problem auftritt, muss also der Bruch aus a/b so gekürzt* werden können, dass Zähler und Nenner ungerade sind. Umgekehrt, wenn dies der Fall ist, also a=(2m+1)k und b=(2n+1)k mit ganzzahligem k, dann kann man einfach t1+t2=pi/k setzen (z.B. t1=0, t2=pi/k < 2pi) und zeigen, dass das Problem auch wirklich auftritt.
Die Antwort ist also: Dies passiert genau dann, wenn der Bruch aus a/b so gekürzt werden kann, dass Zähler und Nenner beide ungerade sind - was äquivalent zu Antwortmöglichkeit 8 ist.
*Man kann hier davon ausgehen, dass (2m+1)/(2n+1) teilerfremd sind, der Bruch also vollständig gekürzt ist, denn wenn dies nicht der Fall wäre, könnte man einfach den Bruch vollständig kürzen, weiterhin einen ungeraden Zähler und Nenner haben und damit neue Werte für m und n finden, sodass (2m+1)/(2n+1) teilerfremd sind. Damit ist dann garantiert, dass a und b ganzzahlige Vielfache von Zähler und Nenner sind.