Ich habe Antwort 8:
Die Drohne kehrt um, wenn es Extremstellen von sin(ax) gibt, die auch Extremstellen von sin(bx) sind. An solchen identischen Extremstellen ist die Position vor und nach der Extremstelle aus Symmetriegründen identisch, die Drohne kehrt also um.
Die Extremstellen von sin(ax) sind bei 1/(2a)*pi, 3/(2a)*pi, 5/(2a)*pi usw.
Sei 2^k die höchste 2er-Potenz, durch die a teilbar ist. Dann ist a=2^k*n mit einer ungeraden Zahl n, entsprechend b=2^k*m.
Abhängig von den konkreten Werten für n und m gibt es dann Extremstellen, bei denen gekürzt werden kann, so dass man sie als identisch erkennt.
Diese Überlegungen hat sicher noch jemand in hübscherer Form zum Veröffentlichen, aber vielleicht wird schonmal der Ansatz deutlich.
(12-17-2025, 04:13 PM)Noname_MM schrieb: Hi Estela, du meinst die Lösung zu Aufgabe 10, richtig?
Meine Lösung ist 10. Mit Hilfe des Programmes konnte ich die Lösungen 1 bis 9 ausschließen. Beispiele, bei denen die Drohnen denselben Weg zurückfliegen:
2,2
2,6
7,21
1,3
a,a für jede positive ganze Zahl a
Die Beispiele, die du nennst, entsprechen doch alle Lösung 8!?
(12-17-2025, 05:13 PM)Mathewichtel schrieb: Ich habe Antwort 8:
Die Drohne kehrt um, wenn es Extremstellen von sin(ax) gibt, die auch Extremstellen von sin(bx) sind. An solchen identischen Extremstellen ist die Position vor und nach der Extremstelle aus Symmetriegründen identisch, die Drohne kehrt also um.
Die Extremstellen von sin(ax) sind bei 1/(2a)*pi, 3/(2a)*pi, 5/(2a)*pi usw.
Sei 2^k die höchste 2er-Potenz, durch die a teilbar ist. Dann ist a=2^k*n mit einer ungeraden Zahl n, entsprechend b=2^k*m.
Abhängig von den konkreten Werten für n und m gibt es dann Extremstellen, bei denen gekürzt werden kann, so dass man sie als identisch erkennt.
Diese Überlegungen hat sicher noch jemand in hübscherer Form zum Veröffentlichen, aber vielleicht wird schonmal der Ansatz deutlich.
Ergänzend zu dem Tool von Lukas hatte ich mit GeoGebra gespielt, um mir den Zusammenhang zwischen den Extrempunkten deutlich zu machen, hier ist die Datei: https://www.geogebra.org/calculator/mbs29knj
(In schwarz sieht man jeweils die komplette Flugbahn - an den „offenen Enden“ erkennt man, dass die Drohne auf ihrer Bahn zurückfliegt.)
(12-17-2025, 04:13 PM)Noname_MM schrieb: Hi Estela, du meinst die Lösung zu Aufgabe 10, richtig?
Meine Lösung ist 10. Mit Hilfe des Programmes konnte ich die Lösungen 1 bis 9 ausschließen. Beispiele, bei denen die Drohnen denselben Weg zurückfliegen:
2,2
2,6
7,21
1,3
a,a für jede positive ganze Zahl a
Die Beispiele, die du nennst, entsprechen doch alle Lösung 8!?
Ich hatte mir die Zahlen 1 bis 10 aufgeschrieben und immer durchgestrichen, wenn ich eine Antwort widerlegt habe. Die Beispiele sind nicht alle Paare, die ich durchprobiert habe. Ich dachte, ich hätte auch ein Gegenbeispiel für 8 gehabt, aber anscheinend nicht. Ärgerlich, da es schon meine 2. falsche Antwort ist, die ich hätte vermeiden können, aber neben Arbeit, Familie und Vorweihnachtsstress rutscht einem halt manchmal etwas durch.
(12-17-2025, 04:49 PM)Kosakenzipfel schrieb: Ich habe auch 10.
Damit die Drohne umdreht, muss sowohl die Geschwindigkeit in x wie in y 0 sein. Und das ist der Fall, wenn a=f*(2k+1) und b=f*(2m+1). f , k, m sind positive ganze Zahlen. k kann identisch m sein, muss es aber nicht. Und da man für f alles wählen kann, kann man für jede Antwort ein Gegenbeispiel konstruieren.
Ich habe auch so überlegt, bin damit aber auf Antwort 8 gekommen. Aus deiner Bedingung folgt ja a/b = (2k+1)/(2m+1), was ein Bruch zweier ungerader Zahlen ist, also müssen a und b die gleiche 2er-Potenz in der Primzahlzerlegung haben.
Tatsächlich, du hast leider Recht.
Es reicht nicht, die richtige Lösung zu erarbeiten, man muss sie auch noch der richtigen Antwort zuordnen.
Den Fakt "a/b muss als Quotient zweier ungerader Zahlen darstellbar sein" konnte man ja quasi aus der gegebenen Sinuskurve ablesen, wenn man sich klar macht, dass "wenden" heißt, dass beide Koordinaten gleichzeitig die Richtung ändern müssen.
Als ich dann auf "wenn im Zweifelsfall auch 2^0 als höchste Zweierpotenz zählt, ist es 8" gekommen bin, hab ich schon drauf gewartet, ob/wann jemand diese Frage im Forum stellt - eigentlich ist die Frage selbst ja schon ein Lösungshinweis
Bei dieser Aufgabe waren die Lösungen sehr hilfreich, weil man die falschen Antworten per Gegenbeispiel widerlegen konnte.
Ich habe es aber dann auch mit Geogebra nachgebaut und die Sinuskurven angesehen.
Ich habe mich an mein Oszilloskop gesetzt und mit zwei Sinusgeneratoren ein bisschen rumprobiert und dabei viele schöne Lissajou- Figuren erzeugt. Allerdings sind die Frequenzen so hoch, dass man das umkehren nicht beobachten kann. Daher habe ich dann meine Vermutung (Antwort 8) mithilfe des guten alten GTR bestätigt (Parameterkurven gezeichnet und viele Werte von T verwendet, damit er langsamer zeichnet).
Man kann danach natürlich beweisen, dass es Stellen mit gleichen Funktionswerten x(t) und y(t) gibt, z.B. t_1= Pi / (2^(k+2)) und t_2= ^3*Pi / (2^(k+2)). Anschließend bestimmt man noch den Geschwindigkeitsvektor an diesen Stellen und erkennt, dass diese zwar den gleichen Betrag, aber verschiedenes Vorzeichen besitzen.
Ich hatte mir erstmal überlegt: Die Kurve berührt sich selbst, wenn es t1 und t2 gibt, sodass gleichzeitig sin(a t1) = sin(a t2) und sin(b t1) = sin(b t2) ist.
Dabei ist sin(a t1) = sin(a t2) genau dann, wenn |a t1 - a t2| ein ganzzahliges Vielfaches von 2 pi ist (d.h. periodische Wiederholung) oder wenn a t1 = pi/2 - x, a t2 = pi/2 + x + 2 pi k (x beliebig, k ganzzahlig) bzw. a t1 + a t2 ein ungerades Vielfaches von pi ist (die Achsensymmetrie der Sinuskurve in pi/2).
Dann ist mir aufgefallen, dass ersteres für die Drohnen unproblematisch ist, da man dann ja nur die Kurve an einer Stelle berührt bzw. nochmal nachzieht, wo längst keine Drohnen mehr sind. Für die Aufgabe ist nur die Situation relevant, dass für irgendwelche t1, t2 sowohl a(t1+t2) als auch b(t1+t2) ungerade Vielfache von pi sind, also a(t1+t2) = (2m+1) pi, b(t1+t2) = (2n+1) pi für ganzzahlige m, n. Es folgt, dass a(t1+t2)/(b(t1+t2)) = a/b = (2m+1)/(2n+1). Damit das Problem auftritt, muss also der Bruch aus a/b so gekürzt* werden können, dass Zähler und Nenner ungerade sind. Umgekehrt, wenn dies der Fall ist, also a=(2m+1)k und b=(2n+1)k mit ganzzahligem k, dann kann man einfach t1+t2=pi/k setzen (z.B. t1=0, t2=pi/k < 2pi) und zeigen, dass das Problem auch wirklich auftritt.
Die Antwort ist also: Dies passiert genau dann, wenn der Bruch aus a/b so gekürzt werden kann, dass Zähler und Nenner beide ungerade sind - was äquivalent zu Antwortmöglichkeit 8 ist.
*Man kann hier davon ausgehen, dass (2m+1)/(2n+1) teilerfremd sind, der Bruch also vollständig gekürzt ist, denn wenn dies nicht der Fall wäre, könnte man einfach den Bruch vollständig kürzen, weiterhin einen ungeraden Zähler und Nenner haben und damit neue Werte für m und n finden, sodass (2m+1)/(2n+1) teilerfremd sind. Damit ist dann garantiert, dass a und b ganzzahlige Vielfache von Zähler und Nenner sind.
