Lösung A22:
Vorbemerkung:
1. Die Reihenfolge der Betätigung von Schaltern spielt keine Rolle.
2. Eine m-fache Betätigung eines Schalters hat die gleiche Wirkung wie die m mod 2-
fache Betätigung.
Daher: Jede Folge von Schaltvorgängen lässt sich durch ein n-tupel von 0 und 1 darstellen.
Sei nun K der Körper mit 2 Elementen, 0 und 1.
A, B seien jeweils n-dim. Vektorräume über K.
Die in A enthaltenen Vektoren stehen für die Schaltvorgänge mit den „defekten“ Schaltern, die in B für Schaltvorgänge mit „intakten“ Schaltern. Jedem Element in A entspricht ein Element in B. Dieses Element erhält man, indem der A-Vektor mit einer bestimmten n x n-Matrix über K malgenommen wird. Man muss jetzt nur noch herausfinden, für welche n diese Matrix die Determinante ungleich 0, also 1, hat. Es zeigt sich, dass dies – wenn ich mich richtig erinnere – genau dann der Fall ist, wenn n mod 7 gleich 0 oder 1 ist.
Die einfachen Details des Beweises - Form der Matrix, Berechnung der Determinante -
seien dem Leser überlassen.
Vorbemerkung:
1. Die Reihenfolge der Betätigung von Schaltern spielt keine Rolle.
2. Eine m-fache Betätigung eines Schalters hat die gleiche Wirkung wie die m mod 2-
fache Betätigung.
Daher: Jede Folge von Schaltvorgängen lässt sich durch ein n-tupel von 0 und 1 darstellen.
Sei nun K der Körper mit 2 Elementen, 0 und 1.
A, B seien jeweils n-dim. Vektorräume über K.
Die in A enthaltenen Vektoren stehen für die Schaltvorgänge mit den „defekten“ Schaltern, die in B für Schaltvorgänge mit „intakten“ Schaltern. Jedem Element in A entspricht ein Element in B. Dieses Element erhält man, indem der A-Vektor mit einer bestimmten n x n-Matrix über K malgenommen wird. Man muss jetzt nur noch herausfinden, für welche n diese Matrix die Determinante ungleich 0, also 1, hat. Es zeigt sich, dass dies – wenn ich mich richtig erinnere – genau dann der Fall ist, wenn n mod 7 gleich 0 oder 1 ist.
Die einfachen Details des Beweises - Form der Matrix, Berechnung der Determinante -
seien dem Leser überlassen.