Lösungsvorschlag Bonusaufgabe

[Georg J. aus D.]

Ich habe die Innenwinkel beta geschätzt und die Fläche berechnet bei mathematisch positivem Umlauf.
Dann habe ich aus jedem Innenwinkel beta und dem Vorzeichen der Fläche den Eckwinkel alpha berechnet, und aus allen Eckwinkeln wieder die Fläche berechnet.
In allen 5 Fällen waren die Flächen verschieden groß.

Dann habe ich den Umlauf umgekeht, also die Fläche, die sich aus den Innenwinkeln ergibt, mit -1 multipliziert. Dadurch änderten sich die Eckwinkel alpha und die daraus berechnete Fläche.
Nur in den Fällen 2 und 3 waren die Flächen jetzt gleich groß. -> Antwort 8

[hg1]

Ah, jetzt gibt es auch einen Thread hier bei den Lösungsdiskussionen

Ich habe auch 2 & 3 als Antwort heraus, durch Ausprobieren mit GeoGebra... die Bilder habe ich schon hier gepostet: https://www.mathekalender.de/wp/forum/th...ml#pid7836

[Abraxas]

Ich habe die Innenwinkel beta geschätzt und die Fläche berechnet bei mathematisch positivem Umlauf.
Dann habe ich aus jedem Innenwinkel beta und dem Vorzeichen der Fläche den Eckwinkel alpha berechnet, und aus allen Eckwinkeln wieder die Fläche berechnet.
In allen 5 Fällen waren die Flächen verschieden groß.

Dann habe ich den Umlauf umgekeht, also die Fläche, die sich aus den Innenwinkeln ergibt, mit -1 multipliziert. Dadurch änderten sich die Eckwinkel alpha und die daraus berechnete Fläche.
Nur in den Fällen 2 und 3 waren die Flächen jetzt gleich groß. -> Antwort 8

Jetzt verstehe ich, was man mit den Winkeln hätte machen sollen…

[Gramar]

Die Bilder 1, 4 und 5 lassen sich auch deshalb nicht realisieren, weil dort die Anzahl der Dreiecke, deren Nachbarn auf unterschiedlichen Seiten liegen, ungerade ist - was nicht sein kann.

[Kosakenzipfel]

Die Bilder 1, 4 und 5 lassen sich auch deshalb nicht realisieren, weil dort die Anzahl der Dreiecke, deren Nachbarn auf unterschiedlichen Seiten liegen, ungerade ist - was nicht sein kann.

Warum? Jedes Dreieck definiert doch eine andere Ebene. Ich hatte auch erst in diese Richtung das Argument gesucht, aber nicht gefunden. Durch Ausprobieren konnte ich Normalenbilder erzeugen, die wie 1,2, und 3 aussehen.

[Gramar]

Die Bilder 1, 4 und 5 lassen sich auch deshalb nicht realisieren, weil dort die Anzahl der Dreiecke, deren Nachbarn auf unterschiedlichen Seiten liegen, ungerade ist - was nicht sein kann.

Warum? Jedes Dreieck definiert doch eine andere Ebene. Ich hatte auch erst in diese Richtung das Argument gesucht, aber nicht gefunden. Durch Ausprobieren konnte ich Normalenbilder erzeugen, die wie 1,2, und 3 aussehen.

Wenn man einmal herumgeht, muss am Schluss die gleiche Ebenenrichtung herauskommen. Mit "g" (Nachbardreiecke auf gleicher Seite) bzw. "u" (Nachbardreiecke auf unterschiedlichen Seiten) und "i" (Nachbardreieck konvex nach innen geknickt) bzw. a (Nachbardreieck konkav nach außen geknickt) ist z.B. nicht möglich i g i g i g i g i g i u a.