Lösungsvorschlag Challenge 20

[Stella]

Meiner Meinung nach ist 3., also 0,0216% richtig:
Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für: Eröffnungssatz ,Nordlicht’ -> Abschlusswunsch-Ende ,Geschichte von tausend Sternen‘ -> Abschiedssatz.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 180/10000 * 120/400 * 400/10000 = 0,000216 = 0,0216%

[Fanbusfahrer]

Ich habe auch die gleiche Lösung, allerdings einen anderen Weg:

Zu beachten ist hier, dass die Grundgesamtheit jeweils eine andere ist. Insgesamt beinhaltet die Stichprobe 10000 Personen. Allerdings spielen davon zu Beginn jeweils nur 400 eine Rolle und davon dann bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit nur 180, weil nur die Anfänge für diese Eröffnungssätze fehlerhaft sind. Damit sind die Wahrscheinlichkeiten für „Wenn der Kamin leiste knistert“ 80/180 und für „Mit der Ruhe einer winterlichen Nacht“ 100/180. Die Enden, die sich auf die gesamte Grundgesamtheit von 10000 beziehen, haben eine Wahrscheinlichkeit von 120/10000. Der Abschiedssatz hat eine Wahrscheinlichkeit von 400/10000.
Insgesamt erhält man:
P=(180/400)∙(80/180)∙(120/10000)∙(400/10000)+(180/400)∙(100/180)∙(120/10000)∙(400/10000)=0.000216

[Mathe Juergen]

Ich habe auch die gleiche Lösung, allerdings einen anderen Weg:

Zu beachten ist hier, dass die Grundgesamtheit jeweils eine andere ist. Insgesamt beinhaltet die Stichprobe 10000 Personen. Allerdings spielen davon zu Beginn jeweils nur 400 eine Rolle und davon dann bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit nur 180, weil nur die Anfänge für diese Eröffnungssätze fehlerhaft sind. Damit sind die Wahrscheinlichkeiten für „Wenn der Kamin leiste knistert“ 80/180 und für „Mit der Ruhe einer winterlichen Nacht“ 100/180. Die Enden, die sich auf die gesamte Grundgesamtheit von 10000 beziehen, haben eine Wahrscheinlichkeit von 120/10000. Der Abschiedssatz hat eine Wahrscheinlichkeit von 400/10000.
Insgesamt erhält man:
P=(180/400)∙(80/180)∙(120/10000)∙(400/10000)+(180/400)∙(100/180)∙(120/10000)∙(400/10000)=0.000216

Auch hier hatte ich genau die gleiche Idee.

Schön am Rande bleibt zu erwähnen: Auch ich wusste (bis zur "Bekanntgabe") lange nicht welches die "unerwünschten" Sätze sind. Daher habe ich eine Abschätzung gemacht: 

Extremfall 1: Alle 8 neuen Sätze sind unerwünscht ==> p = (0,022*7/22*0,45 + 0,022*15/22*0,55 + 0,018*8/18*0,55 + 0,018*10/18*0,45)*0,04=0,000812=0,0812%
                   Also muss gelten: p(gesucht) <=0,0812% ==> nur noch die Antworten 3 und 4 sind möglich

Extremfall 2: Genau ein neuer Satz ist unerwünscht. Der mit der kleinsten Wahrscheinlichkeit liefert eine untere Schranke für p. Dieser Pfad hat die Wahrscheinlichkeit 0,022*7/22*0,225*0,04=0,000063=0,0063%

Schade war nur, dass der Extremfall 2 noch beide Antworten zulies.

Trotzdem mithilfe dieser Abschätzung hätte man die richtige Lösung immerhin mit einer Wahrsacheinlichkeit von 50% raten können.   
Aber zum Glück waren die Moderatoren so fair und haben das "Deutschproblem" wieder zu einem "Matheproblem" gemacht, indem sie die beiden "unerwünschten" Sätze bekannt gaben. 

[st1974]

Diese Aufgabe war wirklich eher eine Herausforderung in sprachlicher Hinsicht. Ich habe die Lösung tatsächlich kurz vor Bekanntgabe der fehlerhaften Sätze aus den gegebenen Antworten konstruieren können. Details dazu in meinem Lösungsheft:

https://www.dropbox.com/scl/fi/qof23dpfp...wt0si&dl=0

[matipau]

In der Aufgabenstellung heißt es ja: "Sein Modell wählt Phrasen auf Grundlage ihrer relativen Häufigkeit aus, mit dem zusätzlichen Kriterium, dass der Beginn der Abschlusswünsche vom Eröffnungssatz abhängt."

Ich verstehe das so, dass von den 4 Komponenten (Eröffnungssatz, Abschlusswunsch-Anfang, Abschlusswunsch-Ende, Abschiedssatz) nur die 2. von der 1. Komponente abhängt, aber die 3. und 4. Komponente rein zufällig gewählt werden. Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 180/10000 * 120/10000 * 400/10000 = 0.000864%.

Die bisherigen Lösungen, die zu dem 10000/400-fachen Ergebnis führen, nehmen m.E. entweder eine weitere Abhängigkeit zwischen den 4 Komponenten an, oder berechnen eine bedingte Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass die Karte schon mit einem der gegebenen Eröffnungs- bzw. Abschiedssätze endet:

In der Lösung von Stella wird für das Abschlusswunsch-Ende "Geschichte von tausend Sternen" eine Wahrscheinlichkeit von 120/400 statt 120/10000 angesetzt. Das nimmt also an, dass auch das Abschlusswunsch-Ende nicht unabhängig vom Eröffnungssatz ist, weil angenommen wird, dass bei den beiden gegebenen Eröffnungssätzen nur noch die vier gegebenen Abschlusswunsch-Enden vorkommen können.

In der Lösung von Fanbusfahrer wird angenommen, dass garantiert schon einer der beiden Eröffnungssätze verwendet wird. In der Aufgabenstellung wird aber explizit nach der Wahrscheinlichkeit gesucht, dass die Karte überhaupt mit einem der beiden Eröffnungssätze beginnt und dann noch die anderen Bedingungen erfüllt sind.

In der Lösung von st1974 (Danke an dieser Stelle für deine Mühe, deine ganzen Lösungen so schön aufzuschreiben!) wird wie bei Stella angenommen, dass das Abschlusswunsch-Ende immer von einer der 400 gegebenen Karten stammt, sofern dies beim Eröffnungssatz der Fall war, denn P_2 wird mit 120/400 statt 120/10000 angesetzt. Du diskutierst dann anschließend noch, ob man für den Abschiedssatz die gleiche (m.E. falsche) Annahme wie für das Abschlusswunsch-Ende treffen darf, aber nicht, ob man das Abschlusswunsch-Ende genauso wie beim Abschiedssatz komplett unabhängig vom Eröffnungssatz ansehen sollte. Bei beiden Komponenten (Abschlusswunsch-Ende und Abschiedssatz) macht es jeweils einen Faktor von 400/10000 aus, ob man sie komplett unabhängig vom Eröffnungssatz auffasst oder nicht. Es wäre m.E. konsistent, beide Phrasen zumindest auf die gleiche Weise zu behandeln, was zu 0.000864% oder 0.54% führen würde.

Da weder 0.000864% noch 0.54% bei den Antwortmöglichkeiten dabei waren, hatte ich dann auch 0.0216% abgegeben. Aber meiner Meinung nach ist so, wie die Aufgabe formuliert ist, eigentlich 0.000864% die korrekte Antwort.

[Fanbusfahrer]

Das ist wirklich interessant. Ich hätte schwören können, dass die Frage anders lautete. Weil ich weiß jetzt echt nicht mehr, warum ich als Grundgesamtheit zu Beginn 400 gewählt hatte. Vielleicht muss ich den Text nochmal genau lesen.