Also…
Wenn man sich die Spirale mit niedrigen Koordinaten anschaut, merkt man, dass die Ecken der Spirale immer (x/x) (entsprechend positive oder negative Vorzeichen mal ausgenommen) als Koordinate haben, nur nicht die Ecke rechts unten. Die hat nämlich immer (x/x-1). Somit hat die Ecke mit derselben y-Koordinate wie (-49/50) die Koordinate (-50/50), die Ecke auf der Höhe von (-39/49) hat die x-Koordinate (-49/49). Wenn man sich vorstellt, dass die Ecke (-50/50) die Farbe a hat, dann muss die rechte obere Ecke mit (50/50) auch Farbe a haben, da sie den Abstand 50 haben und sich die Farben alle 5 Geschenke wiederholen. Die rechte untere Ecke (50/49) hat somit die Farbe davor (a-1), da der Abstand zur rechten oberen Ecke 49 beträgt. Die linke untere Ecke hat also die Farbe a-2. Die linke obere Ecke hat die Farbe a-4 bzw. a+1, da sich die Farben wiederholen. Verfolgt man dies weiter, ist (-39/49) auch von Farbe a, somit kann nur Antwort 3 richtig sein- sie sind beide grün.
Das ist natürlich sehr cool argumentiert. Eine Art vorwärts/rückwärts-Beweis (ohne als echter Beweis) durchzugehen ;-)
Ich habe mir das ganze so hergeleitet:
Feld (0;1) ist Feld 4, Feld (-1;2) ist Feld 16, usw. Damit ist Feld (-(x-1)|x) dann Feldnummer (2x)^2.
Alle Zahlen in der Diagonalen weiter hoch sind die Quadratzahlen der y-Koordinate mal 2. Also ist z. B. (-2,3) auf Feld (3∙2)^2=36.
Damit erhält man (-49,50)=(50∙2)^2=10 000. Da 10000 darstellbar ist als 5+5t, ist das Feld grün.
Das Feld (-39,40) ist eine Reihe unter (-49,50), wo auch (-48,49) ist.
Das Feld (-48,49) steht auf Feld (49∙2)^2=9604. Das Feld ist türkis. Das Feld (-39,40) ist neun Felder weiter rechts und damit grün.
(01-01-2024, 09:28 AM)Stella schrieb: Also…
Wenn man sich die Spirale mit niedrigen Koordinaten anschaut, merkt man, dass die Ecken der Spirale immer (x/x) (entsprechend positive oder negative Vorzeichen mal ausgenommen) als Koordinate haben, nur nicht die Ecke rechts unten. Die hat nämlich immer (x/x-1). Somit hat die Ecke mit derselben y-Koordinate wie (-49/50) die Koordinate (-50/50), die Ecke auf der Höhe von (-39/49) hat die x-Koordinate (-49/49). Wenn man sich vorstellt, dass die Ecke (-50/50) die Farbe a hat, dann muss die rechte obere Ecke mit (50/50) auch Farbe a haben, da sie den Abstand 50 haben und sich die Farben alle 5 Geschenke wiederholen. Die rechte untere Ecke (50/49) hat somit die Farbe davor (a-1), da der Abstand zur rechten oberen Ecke 49 beträgt. Die linke untere Ecke hat also die Farbe a-2. Die linke obere Ecke hat die Farbe a-4 bzw. a+1, da sich die Farben wiederholen. Verfolgt man dies weiter, ist (-39/49) auch von Farbe a, somit kann nur Antwort 2 richtig sein- sie sind beide grün.
In allem einig, nur eine Kleinigkeit: Beide grün ist die Antwort 3.
(01-01-2024, 12:13 PM)Fanbusfahrer schrieb: Das ist natürlich sehr cool argumentiert. Eine Art vorwärts/rückwärts-Beweis (ohne als echter Beweis) durchzugehen ;-)
Ich habe mir das ganze so hergeleitet:
Feld (0;1) ist Feld 4, Feld (-1;2) ist Feld 16, usw. Damit ist Feld (-(x-1)|x) dann Feldnummer (2x)^2.
Alle Zahlen in der Diagonalen weiter hoch sind die Quadratzahlen der y-Koordinate mal 2. Also ist z. B. (-2,3) auf Feld (3∙2)^2=36.
Damit erhält man (-49,50)=(50∙2)^2=10 000. Da 10000 darstellbar ist als 5+5t, ist das Feld grün.
Das Feld (-39,40) ist eine Reihe unter (-49,50), wo auch (-48,49) ist.
Das Feld (-48,49) steht auf Feld (49∙2)^2=9604. Das Feld ist türkis. Das Feld (-39,40) ist neun Felder weiter rechts und damit grün.
Eine sehr schöne Lösung, gefällt mir sehr gut (hat so einen Hauch von Induktion ). Ich bin eher "intuitiv" wie Stella vorgegangen, was letztendlich ja auch zum Ziel führt.
Ich war durch längere Rechnungen darauf gekommen das der Punkt ganz oben links in einer Spiralrunde, also mit Korrdinaten (-x,x) immer das (4x²+1)te Paket ist und von dort aus sind die gesuchten Pakete ja sehr nah. Für diese Formel habe ich im Nachhinein dann auch noch diesen hübschen grafischen Beweis gefunden, der mir wirklich gut gefällt.
Dann die Fortsetzung der x-Koordinaten https://oeis.org/A174344 und y-Koordinaten https://oeis.org/A274923 nachgeschlagen.
Das Feld (-49,50) muss wegen der y-Koordinate im Bereich 9901 - 10001 liegen, die x-Koordinate liefert dann 10000.
Das Feld (-39,49) muss wegen der y-Koordinate im Bereich 9507 - 9605 liegen, die x-Koordinate liefert dann 9595.
10000 mod 5 = 5 ==> grün 9595 mod 5 = 5 ==> grün -> Antwort 3.
Ich hätte die Aufgabe so gestellt, dass die beiden Felder unterschiedliche Farben gehabt hätten. Und dann hätte ich als Antwortmöglichkeiten alle 10 Kombinationen von 2 aus 5 Farben (ohne Beachtung der Reihenfolge) gewählt.
). Ich bin eher "intuitiv" wie Stella vorgegangen, was letztendlich ja auch zum Ziel führt.
![[Bild: MOSRruD]](https://imgur.com/MOSRruD)
