Lösungsvorschlag A5 Geschenkversand

[Georg J. aus D.]

Gesucht sind die Fälle mit einer geraden Anzahl a freier Felder unterhalb der Diagonalen eines n x n Gitters.

a = n(n-1)/2

a = 0 mod 2 <==> n(n-1) = 0 mod 4 ==> n = 0 mod 4 oder n-1 = 0 mod 4 --> Antwort 6.

[Fanbusfahrer]

Das habe ich auch. Ich habe allerdings eine (aufwändige) Fallunterscheidung gemacht ;-)

[DaFaKo]

Gesucht sind die Fälle mit einer geraden Anzahl a freier Felder unterhalb der Diagonalen eines n x n Gitters.

a = n(n-1)/2

a = 0 mod 2 <==> n(n-1) = 0 mod 4 ==> n = 0 mod 4 oder n-1 = 0 mod 4 --> Antwort 6.

Der Gedanke ist richtig, aber die Voraussetzung ist falsch. Die Formel für die n-te Dreieckszahl ist n(n+1)/2. Dadurch verfälscht sich aber auch die vermeintliche Lösung. Aus selber Argumentation folgt n≡0 mod 4 oder n≡1 mod 4. Und damit Antwort 7.

[marac]

Aus selber Argumentation folgt n≡0 mod 4 oder n≡1 mod 4. Und damit Antwort 7.

Das war die eigentliche Gemeinheit an der Aufgabe, die Antworten sind schwer zu lesen:
"n-1 ist ein Vielfaches von 4" heißt ja n mod 4 = 1

Ich hatte am Anfang auch Rest 1 und Rest 0, also n+1 und n, aber der Teufel steckt in der Formulierung...

[Kosakenzipfel]

Wieso N-te Dreieckszahl? Man kann doch bei dem Beispiel für n=5 abzählen, dass unter der Diagonalen 10 Felder sind. Also n(n-1)/2.

[Fanbusfahrer]

Jop. Habe ich auch. Korrekt ist Antwort 6.

[Stella]

Ich habe auch Antwort 6. Wenn ich je 2 Geschenke zu einem Paar zusammenfasse, funktioniert das Spiel genau dann, wenn es ein gerade Anzahl an Paaren ist (ich kann dann das höher gelegene Geschenk des jeweiligen Paars zusammen mit einem anderen höher gelegenen Geschenk eines anderen Paars auf die Höhe der jeweiligen ,Geschenkpartner´ bringen) -> n=4k.
Dies funktioniert auch, wenn ich das Geschenk in der linken unteren Ecke außer Betracht lasse- dann muss der Rest ein Vielfaches von 4 sein. Dann ist die Summe n aller Geschenke 4k+1 und somit muss 4|n-1 sein.

Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 01-01-2024, 03:27 PM von Stella.

[Mathe Juergen]

Hier sind meine Überlegungen:
Es gibt "unter" der Geschenkreihe folgende Anzahl an freien Feldern: Summe(i; i=1 bis n-1) = (1/2)*(n-1)*n = S
Damit alle Geschenke nach unten kommen muss S eine gerade Zahl sein, also S = 2*L = (1/2)*(n-1)*n  ==> (n-1)*n = 4*L
Da ggt((n-1);n) = 1 (relativ prim), folgt entweder 4 teilt (n-1) oder 4 teilt n. Somit ist es Antwort 6.

[Fanbusfahrer]

Sehr coole Lösung MatheJuergen. Eine Nachfrage noch. Was heißt relativ prim?

Die Lösung von Stella habe ich noch nicht genau verstanden. Magst du sie nochmal anders erklären?

[Stella]

Ich habe die Geschenke ausgehend von oben links immer in Paare unterteilt. Wenn ich eine gerade Anzahl an Paaren habe (das Geschenk unten rechts mit eingerechnet), kann ich das obere Geschenk von beiden immer auf dieselbe Höhe wie das untere bringen, da ich ja immer 2 obere Geschenke bewegen kann. Dieses Paar kann dann gemeinsam nach unten befördert werden. Also funktioniert das bei 4|n.
Ich kann aber auch das Geschenk unten rechts außer Acht lassen und die Paare ohne dieses bilden. Dann lassen sich die übrigen Geschenke genau dann nach unten befördern, wenn deren Summe durch 4 teilbar ist (obere Strategie). Also funktioniert das Prinzip auch für n=4k+1 (die Summe + das Geschenk unten rechts). Also gilt n-1=4k und somit 4|n-1.