Geschickterweise betrachtet man die vier Seiten erst einmal unabhängig vom Boden, da dieser bei den günstigen Spiegelungen und Drehungen immer auf sich selbst abgebildet wird und somit zunächst vernachlässigbar ist - das reduziert die Fälle stark!
Es verbleiben dann die „Poker“-Fälle vier Verschiedene, one & two pair, Drilling und Vierling. Alle Fälle einfach Mal neun (wegen Bodenfarbe) - nur bei one pair muss man aufpassen: 6 Bodenfarben sind gute Farben, erwischt man aber als Bodenfarbe eine der drei Seitenfarben, so ist das Geschenk nicht zulässig.
Nun addiert man die guten und die schlechten Fälle und es ergibt sich das Verhältnis 6426/9315=238/345 ungefähr 68,99%. Die Maschine wird also nicht eingeführt und die Elfen müssen selber malen.
Wir berechnen zunächst alle möglichen Fälle. Der erste Fall beinhaltet fünf verschiedene Farben, also 9∙8∙7∙6∙5=15120. Hier müssen wir noch die Drehungen rausrechnen. Da die Geschenke oben feststehen, ist die Seite unten auch fest und es ergeben sich keine möglichen Drehungen. Es ergeben sich dann vier Drehungen, die das gleiche beinhalten. Also 15120:4=3780.
Wir betrachten nun im zweiten Fall, dass eine Farbe doppelt vorkommt. Ist die eine doppelte Farbe unten, so erhält man: 9∙8∙7∙6 Fälle, wobei wir diese wieder durch 4 teilen müssen!
(9∙8∙7∙6)/4=756
Sind beide doppelten Farben an den Seiten, so können sie nebeneinander oder gegenüber liegen. Damit erhalten wir nochmals 756+756∙2. Insgesamt also 3024
Für eine Farbe kommt dreifach vor, erhält man:
(9∙8∙7)/4∙2+(9∙8∙7)/2=252+252=504
Der Faktor 2 ergibt sich, weil die untere Fläche und die Seitenflächen, die nebeneinander liegen, belegt werden können. Der zweite Term berechnet die Anzahl der Fälle, die sich aus den gegenüberliegenden, gleichfarbigen mit der gleichfarbigen Grundfläche ergeben.
Für eine Farbe kommt vierfach vor: (9∙8)/4∙2=36 weitere Fälle. Der Faktor 2 ergibt sich, weil die untere Fläche belegt sein kann. Für den letzten Fall, eine Farbe kommt fünffach vor, erhält man 9 Fälle.
Nun berechnet man den Anteil a:
a=(3780+3024+504)/(3780+3024+504+36+9)=7308/7353≈0.9939
Damit ist Lösung 10 korrekt.
Ich fürchte ich habe da irgendwo radikale Denkfehler. Und das wird meine erste falsche Lösung. Das habe ich allerdings auch schon befürchtet, da ich nicht soo viel Zeit in die Aufgabe gesteckt hatte.
Ah danke. Da ist mein Denkfehler. Mal gucken, ob ich die Lösung nun noch zum Ende bringen kann. Mir erscheint das Problem der Dopplungen. Also das ich da nichts doppelt rausrechne.
ich habe beim Pärchen nur eine Bodenfarbe abgezogen, da ja eine Dopplung erlaubt ist, so dass ich dort auf 4032 und in der Summe auf 7434/9315 ≈ 0,798 gekommen bin = Lösung 8.
ich habe beim Pärchen nur eine Bodenfarbe abgezogen, da ja eine Dopplung erlaubt ist, so dass ich dort auf 4032 und in der Summe auf 7434/9315 ≈ 0,798 gekommen bin = Lösung 8.
Eine Doppelung ist erlaubt, das stimmt, wenn es aber nur drei Seitenfarben gibt, ist diese Doppelung ja schon an den Seiten gegeben, wenn zusätzlich der Boden eine der drei Seitenfarben hätte, wäre das ja die zweite Dopplung, daher sind bei drei Seitenfarben nur noch sechs der neun Möglichkeiten für den Boden erlaubt.
ich habe beim Pärchen nur eine Bodenfarbe abgezogen, da ja eine Dopplung erlaubt ist, so dass ich dort auf 4032 und in der Summe auf 7434/9315 ≈ 0,798 gekommen bin = Lösung 8.
Eine Doppelung ist erlaubt, das stimmt, wenn es aber nur drei Seitenfarben gibt, ist diese Doppelung ja schon an den Seiten gegeben, wenn zusätzlich der Boden eine der drei Seitenfarben hätte, wäre das ja die zweite Dopplung, daher sind bei drei Seitenfarben nur noch sechs der neun Möglichkeiten für den Boden erlaubt.
Na toll, wie kann man nur so dumm sein...
Vielen Dank für die Antwort.
