Bonusaufgabe

[Abraxas]

Wo kann man die Bonusaufgabe finden?

[DFUx]

Bei www.mathe-im-Advent.de

[thomath]

In der Zusammenfassung zur Bonusaufgabe findet man bereits:

https://
www.mathekalender.de/wp/de/kalender/aufgaben/2023-bonus-de/
www.mathekalender.de/wp/calendar/challenges/2023-bonus-en/

Viel Spaß!

[Abraxas]

Ich würde mich über Lösungsvorschläge zur Bonusaufgabe freuen. Konnte sie selber nicht lösen und würde gerne mal lesen, wie man da rangeht.

[Mathe Juergen]

Ich würde mich über Lösungsvorschläge zur Bonusaufgabe freuen. Konnte sie selber nicht lösen und würde gerne mal lesen, wie man da rangeht.

Da kann ich dir leider auch nicht weiterhelfen. Mich hat die Aufgabe mit einem Dach, das eigentlich gar kein Dach ist (denn es verhindert ja nicht, dass es reinregnet (außer bei der gegebenen Pyramide)) nicht wirklich vom Hocker gerissen. Mir war das "Ziel" der Aufgabe nicht klar. 

[st1974]

Ich würde mich über Lösungsvorschläge zur Bonusaufgabe freuen. Konnte sie selber nicht lösen und würde gerne mal lesen, wie man da rangeht.

Um ein Gefühl für den Zusammenhang zwischen den Pyramidenflächen und ihrem Normalenbild zu erhalten, habe ich eine Animation in Scratch geschrieben:

https://scratch.mit.edu/projects/944434788/

Danach war jedoch auch bei mir die Luft raus und ich habe einen "intelligent guess" abgegeben. Mir ist nämlich überhaupt nicht klar, wie in dem Normalenbild überhaupt überstumpfe Winkel auftreten können, ohne dass es an anderer Stelle zu Überschneidungen kommt. Das, was in der Simulation wie überstumpfe Winkel aussieht, waren jedoch tatsächlich Außenwinkel auf der Rückseite der Kugel.

---

Falls das soeben Geschriebene in der Aufgabe auch beabsichtigt war, so müssen die überstumpfen Winkel auf der Rückseite der Kugel liegen. Das heißt die Normalen zeigen nach hinten in der Zeichenebene. Das kann aber nur für eine oder mehrere nebeneinanderliegende Seiten gelten. Somit müssen die überstumpfen Winkel in den gesuchten Figuren nebeneinander liegen. Das trifft für die Figuren 1,2 und 5 zu.
Eine weitere Beobachtung aus der Simulation ist, dass das Normalenbild genau dann überschneidungsfrei ist, wenn die Grundfläche der Pyramide ein konvexes Sechseck ist.

Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 01-03-2024, 10:14 AM von st1974.

[Abraxas]

Ich würde mich über Lösungsvorschläge zur Bonusaufgabe freuen. Konnte sie selber nicht lösen und würde gerne mal lesen, wie man da rangeht.

Um ein Gefühl für den Zusammenhang zwischen den Pyramidenflächen und ihrem Normalenbild zu erhalten, habe ich eine Animation in Scratch geschrieben:

https://scratch.mit.edu/projects/944434788/

Danach war jedoch auch bei mir die Luft raus und ich habe einen "intelligent guess" abgegeben. Mir ist nämlich überhaupt nicht klar, wie in dem Normalenbild überhaupt überstumpfe Winkel auftreten können, ohne dass es an anderer Stelle zu Überschneidungen kommt. Das, was in der Simulation wie überstumpfe Winkel aussieht, waren jedoch tatsächlich Außenwinkel auf der Rückseite der Kugel.

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Falls das soeben Geschriebene in der Aufgabe auch beabsichtigt war, so müssen die überstumpfen Winkel auf der Rückseite der Kugel liegen. Das heißt die Normalen zeigen nach hinten in der Zeichenebene. Das kann aber nur für eine oder mehrere nebeneinanderliegende Seiten gelten. Somit müssen die überstumpfen Winkel in den gesuchten Figuren nebeneinander liegen. Das trifft für die Figuren 1,2 und 5 zu.
Eine weitere Beobachtung aus der Simulation ist, dass das Normalenbild genau dann überschneidungsfrei ist, wenn die Grundfläche der Pyramide ein konvexes Sechseck ist.

Vielen Dank! Die Animation ist spannend. Ich hatte versucht, mir die Pyramiden zu den Normalenbildern vorzustellen und habe dann tatsächlich die Lösung mit den Figuren 1, 2 und 5 geraten. Mit den Winkeln im Aufgabentext bin ich nicht klargekommen.

[hg1]

Ich würde mich über Lösungsvorschläge zur Bonusaufgabe freuen. Konnte sie selber nicht lösen und würde gerne mal lesen, wie man da rangeht.

Hm, da ich die Aufgabe offenbar etwas anders interpretiert habe als st1974 werde ich auch mal meine Bilder posten  
Und zwar bin ich davon ausgegangen, dass das Dach "von oben gesehen" genau ein regelmäßiges Sechseck mit der Spitze in der Mitte ist. Aber die 6 Eckpunkte und der Mittelpunkt können unabhängig voneinander hoch oder runter verschoben werden. D.h. die Ränder des Daches folgen zwar dem Rand des Lochs sind aber möglicherweise "schräg" im Sinne der Höhe (auf/absteigend). Meiner Meinung nach ist das die sinnvollere Interpretation da das Loch trotzdem geschlossen wird und es somit nicht "reinregnen" kann (Außerdem ergibt es so auch Sinn, weshalb in der Aufgabe steht, dass die "Dicke" des Lochs als beliebig groß angenommen werden kann)

In GeoGebra sieht es ungefähr so aus: https://imgur.com/a/JDhBUHu  (die Punkte können unabhängig voneinander entlang der vertikalen schwarzen Geraden bewegt werden)

Mit einer Menge Herumprobieren habe ich es schließlich für die Figuren 2 & 3 geschafft das Normalenbild zu reproduzieren: https://imgur.com/a/iAnNSLb

Einen überstumpfen Winkel bekommt man dann, wenn man sich die Ebene des zugehörigen Dreiecks anschaut und die benachbarten Dreieck in unterschiedliche "Seiten" dieser Ebene abknicken (also eines "nach oben" und eines "nach unten", wenn man sich die Ebene als den Boden vorstellt).
Ich denke, auch wenn ich noch keinen richtigen Beweis habe, dass man immer eine gerade Anzahl von überstumpfen Winkeln haben muss (wodurch die anderen Figuren dann unmöglich sind).

[Abraxas]

Ich würde mich über Lösungsvorschläge zur Bonusaufgabe freuen. Konnte sie selber nicht lösen und würde gerne mal lesen, wie man da rangeht.

Hm, da ich die Aufgabe offenbar etwas anders interpretiert habe als st1974 werde ich auch mal meine Bilder posten  
Und zwar bin ich davon ausgegangen, dass das Dach "von oben gesehen" genau ein regelmäßiges Sechseck mit der Spitze in der Mitte ist. Aber die 6 Eckpunkte und der Mittelpunkt können unabhängig voneinander hoch oder runter verschoben werden. D.h. die Ränder des Daches folgen zwar dem Rand des Lochs sind aber möglicherweise "schräg" im Sinne der Höhe (auf/absteigend). Meiner Meinung nach ist das die sinnvollere Interpretation da das Loch trotzdem geschlossen wird und es somit nicht "reinregnen" kann (Außerdem ergibt es so auch Sinn, weshalb in der Aufgabe steht, dass die "Dicke" des Lochs als beliebig groß angenommen werden kann)

In GeoGebra sieht es ungefähr so aus: https://imgur.com/a/JDhBUHu  (die Punkte können unabhängig voneinander entlang der vertikalen schwarzen Geraden bewegt werden)

Mit einer Menge Herumprobieren habe ich es schließlich für die Figuren 2 & 3 geschafft das Normalenbild zu reproduzieren: https://imgur.com/a/iAnNSLb

Einen überstumpfen Winkel bekommt man dann, wenn man sich die Ebene des zugehörigen Dreiecks anschaut und die benachbarten Dreieck in unterschiedliche "Seiten" dieser Ebene abknicken (also eines "nach oben" und eines "nach unten", wenn man sich die Ebene als den Boden vorstellt).
Ich denke, auch wenn ich noch keinen richtigen Beweis habe, dass man immer eine gerade Anzahl von überstumpfen Winkeln haben muss (wodurch die anderen Figuren dann unmöglich sind).

Ah ja, vielen Dank. So hatte ich es am Anfang auch verstanden. Mich haben dann aber manche Antworten im Fragenforum verwirrt. Da war nämlich zu lesen, dass das Loch gar nicht zu sein muss und es also reinregnen kann. Dann habe ich aufgegeben, weil ich es mir so überhaupt nicht mehr vorstellen konnte.

[Georg J. aus D.]

Dort ist meine Antwort in der Lösungsdiskussion: https://www.mathekalender.de/wp/forum/thread-771.html