(01-01-2024, 09:24 PM)Mathe Juergen schrieb: (ich glaube auch, dass es kein vollständiges Argument ist, dass man jede Lampe an oder ausschalten kann, denn einige anderen Lampen ändern ja beim letzten Schalterdruck ihren Zustand).Ich denke schon, dass dieses Argument vollständig ist. Wenn man alle möglichen Schaltzustände der n Lampen als Ecken eines n-dimensionalen Hyperwürfels betrachtet, dann sind die Umschaltungen der einzelnen n Lampen eine linear unabhängige Basis.
Mein Ansatz war aber ein ganz anderer, denn ich habe auch diese Aufgabe programmiert.
Ein Schalter schaltet den Zustand bestimmer Glühbirnen um. Er entspricht einem n-Tupel.
Eine Glühbirne an Position i wird umgeschaltet, falls der i-te Eintrag des n-Tupels 1 ist,
und nicht umgeschaltet, falls der i-te Eintrag 0 ist.
Eine Schaltfolge ist die Hintereinanderausführung einer Menge von Schaltern, die genau einmal betätigt werden. Die Reihenfolge der Schalterbetätigungen spielt keine Rolle.
Das Ergebnis (Umschaltwirkung) entspricht dem exklusiven Odern der entsprechenden n-Tupel und ist selbst auch ein n-Tupel.
Es gibt genau 2^n mögliche unterschiedliche Anfangszustände der n Glühbirnen.
Mit n Schaltern können genau 2^n verschiedene Schaltfolgen ausgeführt werden. Eine Schaltfolge ist ein Element der Potenzmenge der Menge der n Schalter.
Idee:
Um alle 2^n Anfangszustände ausschalten zu können, dürfen keine zwei Schaltfolgen das gleiche bewirken.
Bei 9 Glühbirnen führen die Schaltfolgen { 1, 9 } und { 2, 8 } zum gleichen Ergebnis. <==> Schaltfolge { 1, 2, 8, 9 } entspricht der leeren Schaltfolge {}, ändert also nichts.
==> Es können nicht alle Zustände ausgeschaltet werden.
Untersuche 7 Glühbirnen:
0 mod 7 ist möglich.
Time (s): 0.007
Untersuche 8 Glühbirnen:
1 mod 7 ist möglich.
Time (s): 0.007
Untersuche 9 Glühbirnen:
2 mod 7 ist nicht möglich.
Index 495 erneut gefunden bei Schaltfolge 2 8
Index 495 zuerst gefunden bei Schaltfolge 1 9
Time (s): 0.008
Untersuche 10 Glühbirnen:
3 mod 7 ist nicht möglich.
Index 1007 erneut gefunden bei Schaltfolge 2 8
Index 1007 zuerst gefunden bei Schaltfolge 1 9
Time (s): 0.01
Untersuche 11 Glühbirnen:
4 mod 7 ist nicht möglich.
Index 2031 erneut gefunden bei Schaltfolge 2 8
Index 2031 zuerst gefunden bei Schaltfolge 1 9
Time (s): 0.012
Untersuche 12 Glühbirnen:
5 mod 7 ist nicht möglich.
Index 4063 erneut gefunden bei Schaltfolge 3 9
Index 4063 zuerst gefunden bei Schaltfolge 2 10
Time (s): 0.009
Untersuche 13 Glühbirnen:
6 mod 7 ist nicht möglich.
Index 8127 erneut gefunden bei Schaltfolge 4 10
Index 8127 zuerst gefunden bei Schaltfolge 3 11
Time (s): 0.009
Untersuche 14 Glühbirnen:
0 mod 7 ist möglich.
Time (s): 0.051
Untersuche 15 Glühbirnen:
1 mod 7 ist möglich.
Time (s): 0.118
Untersuche 16 Glühbirnen:
2 mod 7 ist nicht möglich.
Index 2063 erneut gefunden bei Schaltfolge 2 8 9
Index 2063 zuerst gefunden bei Schaltfolge 1 15 16
Time (s): 0.05
Untersuche 17 Glühbirnen:
3 mod 7 ist nicht möglich.
Index 2063 erneut gefunden bei Schaltfolge 2 8 9
Index 2063 zuerst gefunden bei Schaltfolge 1 15 16
Time (s): 0.007
Untersuche 18 Glühbirnen:
4 mod 7 ist nicht möglich.
Index 2063 erneut gefunden bei Schaltfolge 2 8 9
Index 2063 zuerst gefunden bei Schaltfolge 1 15 16
Time (s): 0.011
Untersuche 19 Glühbirnen:
5 mod 7 ist nicht möglich.
Index 4127 erneut gefunden bei Schaltfolge 3 9 10
Index 4127 zuerst gefunden bei Schaltfolge 2 16 17
Time (s): 0.066
Untersuche 20 Glühbirnen:
6 mod 7 ist nicht möglich.
Index 8255 erneut gefunden bei Schaltfolge 4 10 11
Index 8255 zuerst gefunden bei Schaltfolge 3 17 18
Time (s): 0.015
Untersuche 21 Glühbirnen:
0 mod 7 ist möglich.
Time (s): 2.964
Untersuche 22 Glühbirnen:
1 mod 7 ist möglich.
Time (s): 6.624
Untersuche 23 Glühbirnen:
2 mod 7 ist nicht möglich.
Index 258063 erneut gefunden bei Schaltfolge 2 8 9 15
Index 258063 zuerst gefunden bei Schaltfolge 1 16 22 23
Time (s): 0.013
Untersuche 24 Glühbirnen:
3 mod 7 ist nicht möglich.
Index 258063 erneut gefunden bei Schaltfolge 2 8 9 15
Index 258063 zuerst gefunden bei Schaltfolge 1 16 22 23
Time (s): 0.013
Untersuche 25 Glühbirnen:
4 mod 7 ist nicht möglich.
Index 258063 erneut gefunden bei Schaltfolge 2 8 9 15
Index 258063 zuerst gefunden bei Schaltfolge 1 16 22 23
Time (s): 0.016
Untersuche 26 Glühbirnen:
5 mod 7 ist nicht möglich.
Index 516127 erneut gefunden bei Schaltfolge 3 9 10 16
Index 516127 zuerst gefunden bei Schaltfolge 2 17 23 24
Time (s): 0.019
Untersuche 27 Glühbirnen:
6 mod 7 ist nicht möglich.
Index 1032255 erneut gefunden bei Schaltfolge 4 10 11 17
Index 1032255 zuerst gefunden bei Schaltfolge 3 18 24 25
Time (s): 0.027
Total Time (s): 10.091
Genau für die Werte von n >= 7, die bei der Division durch 7 den Rest 0 oder 1 haben. -> Antwort 8
Die Lösung ist vom Lösungsweg unabhängig.