20 Lösung / Solution

[hg1]

Eine geschlossene Lösung konnte ich leider nicht finden (Aber z.B. kommt man mit f(x) = 2^(1/2 log2(x)^2) relativ nah ran, dann ist f'(x) / 2f(x/2) = const. * log2(x), das wächst also ein wenig schneller)

Dafür kann man relativ gut die Funktion approximativ auswerten und mit den exakten Werten vergleichen und tatsächlich scheint f(n)/c(n) gegen eine Konstante (ca 1.255) zu konvergieren und somit f(n)/1.255 eine sehr gute Näherung für c(n) für "große" n.

Ich kann leider deine Tabellenwerte nicht nachvollziehen.

f(2^4)/1,255 = 2^(1/2 * 4^2)/1,255 = 2^8/1,255 = 256/1,255 = 203,984... = 10^2,309... und nicht 10^3,197...

Wo steckt der Fehler?

Ah, da habe ich mich wohl etwas missverständlich ausgedrückt. Die Funktion f, die ich in der Tabelle ausgewertet habe, ist die tatsächliche Lösung der Differentialgleichung, für die ich ja wie gesagt keine geschlossene Formel habe.

Aber zumindest lässt sich eine Darstellung als unendliche Potenzreihe finden:

Da habe ich als Ansatz eine Potenzreihe f(x) = sum_{k>=0} a_k x^k genommen, und durch Ausrechnen von f'(x) und 2f(x/2) und anschließendem Koeffizientenvergleich folgt
a_0 = 1
a_1 = 2
a_{k+1}/a_k = 1/((k+1)*2^(k-1))    für alle k >= 1

explizit ausgedrückt: a_k = 1/(k! 2^(k(k-3)/2))


Wegen des Faktors 2^(k^2 / 2) wächst der Nenner extrem schnell, sodass die Summandenterme selbst für "große" x sehr schnell sehr klein werden (selbst für x = 2025^5 genügen etwas über 100 Terme vollkommen). Daher ist die numerische Berechnung von f gar kein Problem.