Meine Lösung:
Es gilt: K(g)=K(g-1)+2*K(g/2) für alle geraden g
Durch fortlaufendes Einsetzen bekommt man: K(2^n)=K(2^(n-1))+4*(K(2^(n-2)+1)+...+K(2^(n-1)))
Abschätzung nach oben (erster Summand bleibt weg, Klammer mit kleinstem Wert): K(2^n)>4*K(2^(n-2))*2^(n-2)=2^n*K(2^(n-2))>...>2^(n+(n-2)+...+2)*K(1)=2^(n(n+2)/4)
Wegen 2^54<2025^5<2^55 folgt: C>K(2^54)>2^(54*56/4)=2^756>10^227
Abschätzung nach unten (alle Summanden werden 5 mal addiert): K(2^n)<5*(K(2^(n-2)+1)+...+K(2^(n-1)))<5*2^(n-2)*K(2^(n-1))<...<5*2^((n-2)+(n-3)+...+0)*K(2)=15*2^((n-1)*(n-2)/2)
Also folgt: C<15*2^(54*53/2)<2^1435<10^432
Somit Antwort Nr. 5
Es gilt: K(g)=K(g-1)+2*K(g/2) für alle geraden g
Durch fortlaufendes Einsetzen bekommt man: K(2^n)=K(2^(n-1))+4*(K(2^(n-2)+1)+...+K(2^(n-1)))
Abschätzung nach oben (erster Summand bleibt weg, Klammer mit kleinstem Wert): K(2^n)>4*K(2^(n-2))*2^(n-2)=2^n*K(2^(n-2))>...>2^(n+(n-2)+...+2)*K(1)=2^(n(n+2)/4)
Wegen 2^54<2025^5<2^55 folgt: C>K(2^54)>2^(54*56/4)=2^756>10^227
Abschätzung nach unten (alle Summanden werden 5 mal addiert): K(2^n)<5*(K(2^(n-2)+1)+...+K(2^(n-1)))<5*2^(n-2)*K(2^(n-1))<...<5*2^((n-2)+(n-3)+...+0)*K(2)=15*2^((n-1)*(n-2)/2)
Also folgt: C<15*2^(54*53/2)<2^1435<10^432
Somit Antwort Nr. 5