(12-30-2025, 10:29 AM)Georg J. aus D. schrieb: Für n = 2^46 habe ich 10^284,272647 Schafe berechnet. Meine obere Schranke liegt bei 10^422,445415 Schafen.
-> Antwort 5.
A058039
Wie kommst du auf diese "relativ kleine" obere Schranke ? Ich konnte den Wert nur grob nach oben abschätzen:
Ich habe versucht eine Vergleichsfolge (Majorante) zu bestimmen. Da bieten sich die geometrischen Folgen an.
Ich habe mir für jedes Intervall der oben aufgezählten Folgeglieder den Faktor q der geometrischen Folge berechnet die bei a_Zweierpotenz startet und bei der nächsten a_Zweierpotenz endet.
Beispiel: a_1 bis a_2 ==> q = 3 (trivial)
a_2 bis a_4 ==> q = Wurzel(15/3) = Wurzel(5) = ca. 2,23
a_4 bis a_8 ==> q = 4.Wurzel(111/15) = ca. 1,65
a_8 bis a_16 ==> q = 8.Wurzel(1215/111) = ca. 1,35
a_16 bis a_32 ==> q = 16.Wurzel(20415/1215) = ca. 1,193 (q*) für das Beispiel unten
a_32 bis a_64 ==> q = 32.Wurzel(551679/20415) = ca. 1,11
Es fällt auf, dass q immer kleiner wird (natürlich aber nie unter 1 sinken wird).
Wenn man jetzt z.B. a_64 mithilfe von einer geometrischen Folge g im letzten Intervall abschätzen will, dann nimmt man den q- Wert des vorherigen Intervalls und berechnet damit eine obere Schranke für die nächste Intervallgrenze.
Konkret: g_n = a_32*(q*)^(n-32) ==> g_64 = a_32*(q*)^32 = ca. 5 763 623 > a_64
Wenn man jetzt für die vielen alle anderen a_n den q Wert (ca. 1,11) des Intervall A_32 bis a_64 nimmt und mit a_64 als Startglied beginnt, erhält man eine obere Schranke S für a_2025^5.
S = g_2025^5 = a_64 * q^(2025^5-64)
Es gilt log S = log (a_64) + (2025^5-64)*log(q) = ca. 1,5235*10^15
==> S = 10^(1,5235*10^15)
S ist damit kleiner als (2025^5)^(2025^5) = ca. 10^(5,63*10^17)
Somit fällt auf jeden Fall Antwort 10 raus. Natürlich kann auch Antwort 1 nicht stimmen denn a_2025^5 ist garantiert größer als 2025^5.