16 Lösung / Solution

[PhiSigma]

Wenn man zwei der 4x3- oder 3x4-Rechtecke miteinander schneidet, sodass sie ein 3x3-Quadrat gemeinsam haben, bleiben zwei 3x1- oder 1x3-Streifen übrig, die dieselbe Summe haben müssen, da die beiden großen Rechtecke auch dieselbe Summe (von 0) haben. Wenn man das an einigen Stellen durchführt, kann man in das Gitter einige Linien einzeichnen, sodass alle Linien von derselben Farbe jeweils dieselbe Summe haben:

Nun kann man (z.B. links oben) ein 4x3-Rechteck bilden, das jede Farbe genau einmal enthält, und die Summe 0 haben muss. Also ist Rot+Gelb+Grün+Blau=0 und man kann gleich viele Linien von jeder Farbe aus dem Gitter entfernen, ohne dass sich die Gesamtsumme ändert.

Ich habe hier auf der linken Seite anfangend vier entsprechende 4x3-Rechtecke in den oberen und unteren Reihen entfernt, und dann noch den roten und gelben Streifen rechts oben plus die äußeren grünen und blauen Streifen in der mittleren Zeile. Damit bleiben nur noch 10 Zellen übrig, deren Summe der Gesamtsumme des ganzen Gitters entsprechen muss:

Hier hat man auch noch eine komplette Linie von jeder Farbe übrig, nur dass die grüne und blaue Linie sich in zwei Feldern überlappen: genau denen mit der 20 und 25. Wenn man hier alle vier Linien addiert, werden die 20 und 25 doppelt gezählt, alle anderen Felder nur einfach, d.h. die Summe aller vier Linien ist die Gesamtsumme des Gitters plus zusätzlich noch einmal 20+25. Die Summe aller vier Linien ist bekanntlich 0, also 0 = Gesamtsumme + 20+25 und damit muss die Gesamtsumme -45 sein.

Ich sehe gerade, die Lösung von ukleinek ist nach einem ähnlichen Prinzip, aber noch viel simpler. Sehr schön!