14 Lösung / Solution

[PhiSigma]

Ich war mir eigentlich sicher, dass k>=49 gilt und habe basierend darauf k=49 also Antwort 9 abgegeben.
Mein Beweis ist folgender:
Die 99 Spieler werden in die fünf Ränge A;B;C;D;E mit jeweils 1;1;48;1;48 Spielern eingeteilt, jeder Spieler ist nur teil eines Ranges.
Für jede Kombination aus zwei Spielern müssen nun mindestens 48 weitere Spieler genannt werden, mit denen das Paar gut zusammenspielt. Solche Dreiergruppen werden im folgenen als "gut" bezeichnet. Diese benannten Spieler sind hinter dem Pfeil (->) angezeigt.
A,A (Geht nicht, weil A nur ein Spieler hat)
A,B -> C (48) 
A,C -> B (1) und C (48-1)
A,D -> E (48)
A,E -> D (1) und E (48-1)
B,B (Geht nicht, weil B nur ein Spieler hat)
B,C -> A (1) und C (48-1)
B,D -> E (48)
B,E -> D (1) und E (48-1)
C,C -> A (1) und B (1) und C (48-2)
C,D -> E (48)
C,E -> D (1) und E (48-1)
D,D -> (Geht nicht, weil D nur ein Spieler hat)
D,E -> A (1) und B(1) und C (48)
E,E -> C (48)
Bei allen gegebenen Kombination sind nun mindestens 48 weitere Spieler angegeben, weshalb die Bedingung der Aufgabenstellung für k=48 erfüllt ist.
Stellen wir nun alle guten Dreiergruppen auf, sortiert in zwei Hälften.
Hälfte 1:
A,B,C
A,C,C
B,C,C
C,C,C
Hälfte 2;
A,D,E
A,E,E
B,D,E
B,E,E
C,D,E
C,E,E
Da es keinen gute Dreiergruppe der einen Hälfte gibt, die einen Buchstaben enthält, durch dessen Auswechselung man eine gute Dreiergruppe der anderen Hälfte erhalten würde, ist es nicht möglich, nach der Wahl der ersten Dreiergruppe noch eine gute Dreiergruppe der anderen Hälfte zu wählen. Somit muss k mindestens 48+1 sein also 49 oder noch mehr sein, damit es vielleicht immer möglich ist. Da es mir für eine höhrere Zahl k nicht mehr gelungen ist, vermute ich k=49 als Lösung. Über eine Erklärung, wo bei meinem Beweis eine Lücke ist, würde ich mich freuen, wenn tatsächlich eine vorliegen sollte.

Habe ich die Aufgabe missverstanden? Hier enthält doch die zweite Hälfte alle Buchstaben, also alle Personen, und wenn man mit einer Dreiergruppe innerhalb dieser Hälfte anfängt, kann man damit alle Dreiergruppen darin und auch alle Personen erreichen, also ist hier das Auswechseln problemlos möglich. So wie ich es verstanden hatte, darf der Trainer sich aussuchen, mit welcher Dreiergruppe er anfängt, und muss nur alle Personen mindestens einmal erreichen, nicht alle guten Dreiergruppen.