Ich bin auf Antwort 10 gekommen - keine der angegebenen Rechtecke lässt sich auslegen.
Die Schlüsselidee dahinter ist folgende: Man färbe das Geschenkpapier in 5 verschiedenen Farben, z. B. rot, gelb, grün, blau, lila. Immer in dieser Reihenfolge in jeder Zeile. In der darunter liegenden Zeile wird das Muster um ein Feld nach rechts verschoben. Mit dieser Färbung überdecken die 4 Teile a 5 Quadraten jede Farbe genau einmal. Während das 8-Quadrate-Teil eine Farbe einmal, eine Farbe dreimal, zwei Farben zweimal und die verbleibende Farbe gar nicht enthält. Je nach Position kann ich dies in vektorieller Form als (1,3,2,2,0), (3,2,2,0,1), (2,2,0,1,3), (2,0,1,3,2) oder (0,1,3,2,2) schreiben.
Da keine der Antwortmöglichkeiten eine durch 5 teilbare Anzahl an Quadraten aufweist, bräuchte man mindestens ein 8er-Teil. Um die Anzahl überzähliger Farben zu bestimmen, muss man nur den Rest betrachten, der in dem Rechteck (m mod 5)*(n mod 5) liegt. Diese überzähligen Farben kann ich wieder als Vektoren darstellen:
1*1 : (1,0,0,0,0)
1*2 : (1,1,0,0,0)
etc.
2*2 : (2,1,0,0,1)
2*3 : (2,2,1,0,1)
etc.
Keiner dieser Vektoren enthält zwei Zahlen mit einer Differenz größer als 2.
Mit einem Python-Programm, das ich später posten kann, habe ich überprüft, ob man die 5 obigen Vektoren so kombinieren kann, dass einer der untenstehen Vektoren plus einer beliebigen Anzahl an (1,1,1,1,1)-Vektoren erhalten wird. Jedoch habe ich keine solche Lösung erhalten, da ich entweder nur Vektoren mit gleichen Zahlen (d. h. die Anzahl der 8er-Teile wäre durch 5 teilbar) oder Vektoren, die eine Mindestdifferenz von 3 aufweisen, erhalten habe. Somit kann es keine Parkettierung geben, wenn m und n nicht durch 5 teilbar sind.
Die Schlüsselidee dahinter ist folgende: Man färbe das Geschenkpapier in 5 verschiedenen Farben, z. B. rot, gelb, grün, blau, lila. Immer in dieser Reihenfolge in jeder Zeile. In der darunter liegenden Zeile wird das Muster um ein Feld nach rechts verschoben. Mit dieser Färbung überdecken die 4 Teile a 5 Quadraten jede Farbe genau einmal. Während das 8-Quadrate-Teil eine Farbe einmal, eine Farbe dreimal, zwei Farben zweimal und die verbleibende Farbe gar nicht enthält. Je nach Position kann ich dies in vektorieller Form als (1,3,2,2,0), (3,2,2,0,1), (2,2,0,1,3), (2,0,1,3,2) oder (0,1,3,2,2) schreiben.
Da keine der Antwortmöglichkeiten eine durch 5 teilbare Anzahl an Quadraten aufweist, bräuchte man mindestens ein 8er-Teil. Um die Anzahl überzähliger Farben zu bestimmen, muss man nur den Rest betrachten, der in dem Rechteck (m mod 5)*(n mod 5) liegt. Diese überzähligen Farben kann ich wieder als Vektoren darstellen:
1*1 : (1,0,0,0,0)
1*2 : (1,1,0,0,0)
etc.
2*2 : (2,1,0,0,1)
2*3 : (2,2,1,0,1)
etc.
Keiner dieser Vektoren enthält zwei Zahlen mit einer Differenz größer als 2.
Mit einem Python-Programm, das ich später posten kann, habe ich überprüft, ob man die 5 obigen Vektoren so kombinieren kann, dass einer der untenstehen Vektoren plus einer beliebigen Anzahl an (1,1,1,1,1)-Vektoren erhalten wird. Jedoch habe ich keine solche Lösung erhalten, da ich entweder nur Vektoren mit gleichen Zahlen (d. h. die Anzahl der 8er-Teile wäre durch 5 teilbar) oder Vektoren, die eine Mindestdifferenz von 3 aufweisen, erhalten habe. Somit kann es keine Parkettierung geben, wenn m und n nicht durch 5 teilbar sind.