4 Lösung / Solution

[lukas]

Ich habe zuerst auch mit dem Pythagoras gearbeitet, um auf das Ergebnis r=8 für die beiden inneren Kreise zu kommen. Die Rechnung damit sah mir allerdings nicht elegant aus.
Schöner geht es mit dem Satz von Descartes
Der äußere Kreis hat eine Krümmung von -1/18, der erste Kreis 1/9 und die beiden gesuchten Kreise 1/r. Dann gilt:
(-1/18+1/9+2/r)^2 = 2*(1/18^2+1/9^2+2*1/r^2)

Zu dem 4-Kreise-Satz von Descartes gibt es sogar ein schönes Gedicht namens "The Kiss Precise", welches in der Zeitschrift Nature veröffentlicht wurde:

Four circles to the kissing come

The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance from the center.
Though their intrigue left Euclid dumb,
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line,
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

Interessant ist übrigens auch die folgende Verallgemeinerung:

Gegeben zwei ineinanderliegende Kreise und eine Folge von Kreisen K_1,..., K_n, die folgende Bedingungen erfüllen:

• Für i = 1,...,n ist K_i tangential zu den ineinanderliegenden Kreisen
  
• Für i = 1,...,n-1 ist K_i tangential zu K_i-1 und K_i+1
  
• K_n ist tangential zu K_n-1 und K1
  

(Man kann zeigen, dass es entweder unendlich viele solcher Folgen gibt zu einem gegebenen n oder aber gar keine Folge (Steiner Porism))
Dann ist die Summe der Kehrwerte der Radien unabhängig von der Wahl der Folge von K_1,...,K_n. Gleiches gilt auch für die Summe der Quadrate usw. bis zur Summe der (n-1)-ten Potenzen.