24 Spiralgedicht-Wettbewerb

© Mar Curcó Iranzo, MATH+

Hier könnt für die beste Aufgabe 2025 abstimmen: https://www.mathekalender.de/wp/de/beste-aufgabe-2025/

Autorin: Mar Curcó Iranzo

Aufgabe

Um den Heiligabend zu feiern, organisieren die Elfen der Weihnachtsmannwerkstatt am 24. Dezember einen besonderen Gedichtwettbewerb. Dessen Regeln lauten wie folgt:

Regel 1: Hat das Gedicht n Strophen, so muss jede Strophe genau n Verse enthalten.

Regel 2: Innerhalb einer Stophe muss jeder Vers auf ein anderes Wort enden als die übrigen Verse.

Regel 3: Die Verse jeder Strophe müssen mit denselben Wörtern enden wie die Verse der vorherigen Strophe, jedoch in der Reihenfolge, die durch die nachfolgend erläuterte, sogenannte Spiralpermutation vorgegeben wird.

Schreiben wir zum Beispiel ein Gedicht mit 5 Strophen, so besteht die erste Strophe aus 5 Versen, von denen jeder mit einem anderen Wort endet.
Wie in Abbildung 1 dargestellt, bezeichnen wir diese Endwörter der Reihe nach mit W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{4} und W_{5}.

Abbildung 1: Schematische Auflistung der 5 Endwörter.

Zeichnen wir nun – wie in Abbildung 2 gezeigt – eine Spirale, die beim letzten Wort W_{5} beginnt, so bestimmt die Reihenfolge, in der die Spirale die Wörter trifft, die Reihenfolge der Endwörter in der nächsten Strophe.

Abbildung 2: Die Spiralpermutation.

Dies bedeutet, dass die Verse der zweiten Strophe der Reihe nach mit den Wörtern W_{5}, W_{1}, W_{4}, W_{2} und W_{3} enden. Als Nächstes wird die Reihenfolge der Endwörter der dritten Strophe bestimmt, indem man die Spiralpermutation auf die Endwörter der zweiten Strophe anwendet. Diese Iteration ist in Abbildung 3 dargestellt.

Abbildung 3: Iteration der Spiralpermutation.

Für ein Gedicht mit n Strophen – und damit n Versen und n Endwörtern – lässt sich die Spiralpermutation Q_{n} mathematisch wie folgt beschreiben: Das Endwort des m-ten Verses einer Strophe, die nicht die letzte ist, ist in der darauffolgenden Strophe das Endwort von Vers

Q_{n}(m) =\begin{cases} 2m & \text { falls } m \leq n/2 \\ 2n-2m+1 & \text { falls } m > n/2.\end{cases}

Regel 4: Die Reihenfolge der Endwörter muss in jeder Strophe des Gedichts unterschiedlich sein.

Man bemerke, dass wir aufgrund dieser letzten Regel nicht für jede Anzahl n ein Gedicht mit n Strophen schreiben können, das alle Regeln des Wettbewerbs erfüllt. Zum Beispiel ergibt sich für n = 4 die Situation in Abbildung 4.

Abbildung 4: Gegenbeispiel zu Regel 4 für n=4.

Es ist ersichtlich, dass wir nach drei Iterationen wieder dieselbe Wortreihenfolge wie in der ersten Strophe erhalten. Dies widerspricht der letzten Regel des Wettbewerbs.

Wenn die Gedichte für den Wettbewerb höchstens 10 Strophen lang sein dürfen:
Was sind alle möglichen Anzahlen an Strophen, die ein den Anforderungen des Wettbewerbs genügendes Gedicht haben kann?

Extra: Wir haben einen der Elfen um ein Beispiel für ein Gedicht gebeten, welches die Regeln des Wettbewerbs erfüllt:

Schnee fällt dicht auf den hohen Baum
Der Weihnachtsmann rutscht aus auf warmer Milch
Er bittet die Elfen um Hilfe beim verlornen Geschenk
Frau Weihnachtsmann ruft alle herbei mit einer lauten Glocke
Und alle Blicke wenden sich zu Pip, dem scheuen Elf

Der Weihnachtsmann fragt: „Hilfst du uns, Pip, du Elf?“
Pip nickt und zeigt auf des Weihnachtsmanns Karte bei dem Baum
Die Karte zeigt Zahlen und Pfeile wie eine Glocke
Der Weihnachtsmann liest den ersten Hinweis: „Finde die Tasse Milch“
Rudolph findet sie schnell und gewinnt ein kleines Geschenk

Der Milch-Hinweis enthält ein Mathe-Rätsel-Geschenk
Kann es mit Hilfe von Pip gelöst werden, unserem Elf?
Er legt das Rätsel hin, während Rudolph trinkt die Milch
Das Rätsel sagt: „Nächster Hinweis unter dem Baum“
Frau Weihnachtsmann lacht und läutet ihre süße Glocke

Der Hinweis sagt: „Fußspuren führen dich zur Glocke“
Sie sind schon ganz nah dem verlornen Geschenk!
Pip klatscht vor Freude beim hell leuchtenden Baum
„Rudolph, hör auf die Milch zu schlecken!“ ruft der scheue Elf
Der Weihnachtsmann schaut sich um und sieht Spuren aus Milch

Sie eilen hinaus, sie folgen der Spur der Milch
Die Abdrücke führen sie zur klingenden Glocke
Frau Weihnachtsmann klatscht, beeindruckt vom scheuen Elf
Und mit einem Lächeln gibt sie Pip das verlorne Geschenk
Endlich ist alles zurück beim leuchtenden Baum

Möchtest du am Wettbewerb teilnehmen oder dein eigenes Spiralgedicht teilen?

• Wenn du in den Niederlanden lebst, kannst du dein Gedicht im Rahmen des Wettbewerbs per E-Mail an die Autorin unter m.curcoiranzo@gmail.com senden. Du kannst dein Gedicht auf Englisch oder Niederländisch einreichen. Unter allen Teilnehmenden werden drei Exemplare des Buches Once Upon a Prime als Preis vergeben.
• Du kannst dein Gedicht auch im Forum über den folgenden Link teilen (in deutsch oder englisch): https://www.mathekalender.de/wp/forum/thread-1626.html
  Unter allen korrekten Beiträgen wird eine zufällige Person ausgewählt, die ebenfalls einen kleinen Preis erhält.

Antwortmöglichkeiten

1. 2,3,5,6 und 7.
2. 2,3,5,6 und 8.
3. 2,3,5,6 und 9.
4. 2,3,5,6 und 10.
5. 2,3,5,7 und 9.
6. 2,3,5,8 und 10.
7. 2,5,6,7 und 8.
8. 2,5,6,7 und 9.
9. 2,5,6,7 und 10.
10. 2,5,6,8 und 10.