5 Sportliche Mittagspause

© Julia Nurit Schönnagel, MATH+

Autor: Thomas Nowotka (MATH+)

Aufgabe

Auch am Nordpol hat man mittlerweile erkannt, dass sportliche Aktivität äußerst förderlich für Wohlbefinden und Konzentration ist. Daher ist es verpflichtend für alle Mitarbeitenden der Weihnachtsmannwerkstatt, in der Mittagspause an einem gemeinsamen Bewegungsspiel teilzunehmen.

Heute ist Oberelf Alvie für die Organisation der Pause zuständig.
Er stellt sich mit allen Elfen, die heute Schicht haben, in einem Kreis auf. Zu Beginn des Spiels hält Alvie einen magischen Ball aus Sternenstaub in der Hand. Dieser wird nun in mehreren Runden hin- und hergeworfen, und zwar nach festen Regeln:

1.  Die k-te Runde beginnt, indem Alvie den Ball dem k-ten Kollegen links von ihm zuspielt.
2. In der k-ten Runde wirft jeder Elf den Ball, nachdem er ihn bekommen hat, dem k-ten Elfen links von ihm zu.
3. Eine Runde endet, sobald der Ball wieder zu Alvie zurückgekehrt ist.

Abbildung 1 zeigt beispielhaft, wie die zweite und dritte Runde ablaufen, wenn 8 Elfen auf Arbeit sind.

Alvie möchte jedem Elfen den Ball genau einmal zuspielen, d.h. es werden so viele Runden gespielt, wie Elfen abzüglich Alvie anwesend sind. Da die Elfen einen starken Gerechtigkeitssinn haben, jubeln sie am Ende einer Runde, wenn in dieser jeder Elf den Ball werfen durfte. Abbildung 1 zeigt beispielhaft, wie die dritte Runde abläuft, wenn 8 Elfen auf Arbeit sind. Man sieht, dass jeder Elf den Ball einmal werfen darf, d.h. am Ende der Runde wird gejubelt.

Abbildung 1: Die dritte und die zweite Runde, wenn 8 Elfen (Kreise) auf Arbeit sind. Würfe sind als Pfeile dargestellt. Alvie ist blau eingefärbt.

Als Alvie am Ende des Tages einen Bericht für den Weihnachtsmann schreiben muss, fällt ihm auf, dass er nicht mehr genau weiß, wie viele Elfen inklusive ihm heute in der Werkstatt gearbeitet haben.

Durch intensives Nachdenken kann er vieles ausschließen und die Möglichkeiten auf zehn Zahlen einschränken (siehe Antwortmöglichkeiten). Außerdem fällt ihm noch ein, dass in der heutigen Mittagspause 80 mal gejubelt wurde. Kannst du Alvie sagen, wie viele Elfen (inkl. ihm) heute auf der Arbeit gewesen sind?

Bemerkung: Man kann zeigen, dass der Ball in jeder Runde des Spiels nach endlich vielen Würfen zu Alvie zurückkehrt. Davon darf in dieser Aufgabe ausgegangen werden.

Hinweis: Jede positive ganze Zahl größer als eins lässt sich eindeutig als Produkt aus Primzahlen beschreiben (eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren in dem Produkt). Dieses Produkt nennt man Primfaktorzerlegung und kann bei der Lösung dieser Aufgabe hilfreich sein.

Antwortmöglichkeiten

1. 148
2. 151
3. 152
4. 157
5. 164
6. 166
7. 173
8. 179
9. 181
10. 184