01-01-2024, 01:04 AM
01-01-2024, 06:33 AM
Sehr interessant.
Ich bin tatsächlich alle Differenzen durchgegangen. Leider kann ich hier keine PDF posten.
Wir notieren die Zahl in der Form xyzt und nehmen diese als die größte Zahl an. Es gilt also x>y>z>t.
Dann erhält man, wenn man die größte minus die kleinste Zahl rechnet:
1000x+100y+10z+t-1000t-100z-10y-x
=999x+90y-90z-999t
=999∙(x-t)+90∙(y-z)
=9∙(111∙(x-t)+10∙(y-z))
Wir haben die Vermutung, weil einige Versuche dies zeigten, dass der Code immer 6174 lautet. Wir setzen diesen mit dem Term gleich.
9∙(111∙(x-t)+10∙(y-z))=6174|:9
111∙(x-t)+10∙(y-z)=686
Dies ergibt, dass x-t=6 du y-z=2 sein muss. Kleinere Werte sind nicht möglich, da der zweite Term maximal 90 sein kann und der mit 555 schon nicht mehr zu 686 führen kann.
Wir betrachten fortan die Differenzen x-t und y-z, die jeweils mit unterschiedlichen Startzahlen je nach Differenz zu den gleichen Iterationszahlen führen. Wenn wir alle Differenzen betrachten, die möglich sind, sind wir fertig. Da dies nur 81 sind, ist das ein zu stemmbarer Rechenaufwand.
Die Differenzen im ersten Beispiel sind x-t=1 und y-z=0. Für alle die sich ergebenen Zahlen ergibt sich das gleiche Muster.
1000-1=999, also lautet die nächste größte Zahl 9990 und die nächste Rechnung von 9990-999 führt auf 8991…
Ich bin dann alle Differenzen von (1|0) bis (9|9) durchgegangen...
Ich bin tatsächlich alle Differenzen durchgegangen. Leider kann ich hier keine PDF posten.
Wir notieren die Zahl in der Form xyzt und nehmen diese als die größte Zahl an. Es gilt also x>y>z>t.
Dann erhält man, wenn man die größte minus die kleinste Zahl rechnet:
1000x+100y+10z+t-1000t-100z-10y-x
=999x+90y-90z-999t
=999∙(x-t)+90∙(y-z)
=9∙(111∙(x-t)+10∙(y-z))
Wir haben die Vermutung, weil einige Versuche dies zeigten, dass der Code immer 6174 lautet. Wir setzen diesen mit dem Term gleich.
9∙(111∙(x-t)+10∙(y-z))=6174|:9
111∙(x-t)+10∙(y-z)=686
Dies ergibt, dass x-t=6 du y-z=2 sein muss. Kleinere Werte sind nicht möglich, da der zweite Term maximal 90 sein kann und der mit 555 schon nicht mehr zu 686 führen kann.
Wir betrachten fortan die Differenzen x-t und y-z, die jeweils mit unterschiedlichen Startzahlen je nach Differenz zu den gleichen Iterationszahlen führen. Wenn wir alle Differenzen betrachten, die möglich sind, sind wir fertig. Da dies nur 81 sind, ist das ein zu stemmbarer Rechenaufwand.
Die Differenzen im ersten Beispiel sind x-t=1 und y-z=0. Für alle die sich ergebenen Zahlen ergibt sich das gleiche Muster.
1000-1=999, also lautet die nächste größte Zahl 9990 und die nächste Rechnung von 9990-999 führt auf 8991…
PHP-Code:
Differenz (1|0) (9|0) (8|1) (8|6) (6|2) (6|2)
Beispiel 1000 999, also 9990 8991, also 9981 8082, also 8820 8532 6174, also 7641
Bei (6|2) ist man immer fertig, weil das zu 6174, zu unserer Endzahl führt.
01-01-2024, 06:40 PM
Da die Antwortmöglichkeiten die Existenz von mindestens einem "Code" sichert, habe ich versucht welche Bedingungen ein solcher Code erfüllen muss.
Sei abcd eine Permutation eines solchen Codes mit a>=b>=c>=d.
Bildet man die Differenz: abcd - dcba = 1000*(a-d) + 100*(b-c) + 10*(c-b) + d-a = 999*(a-d) + 90*(b-c) = 9*(111*(a-d) + 10*(b-c))
dann folgt sofort, dass die Zahl durch 9 teilbar sein muss und damit auch die Quersumme Q= a + b + c + d.
==> Q = k*9 mit zunächst 1<=k<=4.
k=4 würde bedeuten a=b=c=d, was laut Aufgabenstellung ausgeschlossen ist.
Jetzt hilft uns natürlich, dass laut Aufgabentext eine der Ziffern eine 6 sein muss. ==> a>=6 (ohne diesen Hinweis wäre es "zäh" geworden)
Da gibt es jetzt also noch genau drei Fälle: 6300 , 6210 und 6111
6300 - 0036 = 6264 ==> kein Code ; 6210 - 0126 = 6084 ==> kein Code ; 6111 - 1116 = 4995 ==> kein Code.
Somit geht k = 1 auch nicht.
A: Die Ziffern der Differenz lauten, falls c ungleich b ist: a - d ; b - (c +1) ; 9 + c - b ; 10 + d - a
B: Die Ziffern der Differenz lauten, falls c = b ist: a - d - 1 ; 9 ; 9 ; 10 + d - a
Fall B: Quersumme ist größer als 18 ==> k = 3, also Q = 27 und zusätzlich wären zwei Ziffern des Codes 9 ==> 9963. Da 9963 - 3699 = 6264 ==> kein Code.
Somit ist Fall B nicht möglich.
Fall A: Q = a - d + b - c - 1 + 9 + c - b + 10 + d - a = -1 + 9 + 10 = 18 ==> k = 3 geht nicht, also muss k = 2 sein.
Addiert die beiden "äußeren" Ziffern der Differenz so erhält man: a - d + 10 + d - a = 10 ==> Die beiden äußeren Ziffern müssen entweder beide gerade oder beide ungerade sein.
Addiert man die beiden "mittleren" Ziffern der Differenz, so erhält man: b - c - 1 + 9 + c - b = 8 ==> Die beiden inneren Ziffern müssen entweder beide gerade oder beide ungerade sein.
Die beiden "äußeren" Ziffern der Differenz können weder a noch d lauten, sonst müsste gelten: a - d = a ==> d = 0 ==> a + d ungleich 10 (Widerspruch)
10 + d - a = a ==> 2a = 10 + d ==> 2a + a = 10 + d + a = 10 + 10 = 20 = 3a (Widerspruch).
a - d = d ==> a = 2d ==> a + 2a = 2d + 2a = 2*(a + d) = 2*10 = 20 = 3a (Widerspruch)
10 + d - a = d ==> a = 10 (Widerspruch)
Somit muss entweder a - d = b oder a - d = c gelten.
Also müssen a und d entweder beide gerade oder ungerade sein. Analog müssen dann auch b und c entweder beide gerade oder ungerade sein.
Insgesamt folgt da b > c (b = c wurde ausgeschlossen), dass auch a > d gilt. Außerdem muss b um mindestens 2 größer sein als c und es gilt b + c = 10 und a + d = 8.
Insbesondere folgt aus b + c = 10 und b > c unmittelbar b > 5, sowie aus a + d = 8 unmittelbar 6<=a<=8.
Jetzt kann man die folgenden Fälle betrachten.
Fall 1: a = 6 ==> d = 2 ==> b = 6 ==> c = 4. Aber 6642 - 2466 = 4176 ==> kein Code
Fall 2: a = 7 ==> d = 1 Fall 2a: b = 7 ==> c = 3. Aber 7731 - 1377 = 6354 ==> kein Code
Fall 2b: b = 6 ==> c = 4. 7641 - 1467 = 6174 ==> 6174 ist ein Code
Fall 3: a = 8 ==> d = 0 Fall 3a: b = 8 ==> c = 2. Aber 8820 - 0288 = 8532 ==> kein Code
Fall 3b: b = 7 ==> c = 3. Aber 8730 - 0378 = 8352 ==> kein Code
Fall 3c: b = 6 ==> c = 4. Aber 8640 - 0468 = 8172 ==> kein Code
Somit gibt es nur einen Code, nämlich 6174, der dankenswerterweise auch auf dem wunderschönen Bild zur Aufgabe zu lesen ist .
Sei abcd eine Permutation eines solchen Codes mit a>=b>=c>=d.
Bildet man die Differenz: abcd - dcba = 1000*(a-d) + 100*(b-c) + 10*(c-b) + d-a = 999*(a-d) + 90*(b-c) = 9*(111*(a-d) + 10*(b-c))
dann folgt sofort, dass die Zahl durch 9 teilbar sein muss und damit auch die Quersumme Q= a + b + c + d.
==> Q = k*9 mit zunächst 1<=k<=4.
k=4 würde bedeuten a=b=c=d, was laut Aufgabenstellung ausgeschlossen ist.
Jetzt hilft uns natürlich, dass laut Aufgabentext eine der Ziffern eine 6 sein muss. ==> a>=6 (ohne diesen Hinweis wäre es "zäh" geworden)
Da gibt es jetzt also noch genau drei Fälle: 6300 , 6210 und 6111
6300 - 0036 = 6264 ==> kein Code ; 6210 - 0126 = 6084 ==> kein Code ; 6111 - 1116 = 4995 ==> kein Code.
Somit geht k = 1 auch nicht.
A: Die Ziffern der Differenz lauten, falls c ungleich b ist: a - d ; b - (c +1) ; 9 + c - b ; 10 + d - a
B: Die Ziffern der Differenz lauten, falls c = b ist: a - d - 1 ; 9 ; 9 ; 10 + d - a
Fall B: Quersumme ist größer als 18 ==> k = 3, also Q = 27 und zusätzlich wären zwei Ziffern des Codes 9 ==> 9963. Da 9963 - 3699 = 6264 ==> kein Code.
Somit ist Fall B nicht möglich.
Fall A: Q = a - d + b - c - 1 + 9 + c - b + 10 + d - a = -1 + 9 + 10 = 18 ==> k = 3 geht nicht, also muss k = 2 sein.
Addiert die beiden "äußeren" Ziffern der Differenz so erhält man: a - d + 10 + d - a = 10 ==> Die beiden äußeren Ziffern müssen entweder beide gerade oder beide ungerade sein.
Addiert man die beiden "mittleren" Ziffern der Differenz, so erhält man: b - c - 1 + 9 + c - b = 8 ==> Die beiden inneren Ziffern müssen entweder beide gerade oder beide ungerade sein.
Die beiden "äußeren" Ziffern der Differenz können weder a noch d lauten, sonst müsste gelten: a - d = a ==> d = 0 ==> a + d ungleich 10 (Widerspruch)
10 + d - a = a ==> 2a = 10 + d ==> 2a + a = 10 + d + a = 10 + 10 = 20 = 3a (Widerspruch).
a - d = d ==> a = 2d ==> a + 2a = 2d + 2a = 2*(a + d) = 2*10 = 20 = 3a (Widerspruch)
10 + d - a = d ==> a = 10 (Widerspruch)
Somit muss entweder a - d = b oder a - d = c gelten.
Also müssen a und d entweder beide gerade oder ungerade sein. Analog müssen dann auch b und c entweder beide gerade oder ungerade sein.
Insgesamt folgt da b > c (b = c wurde ausgeschlossen), dass auch a > d gilt. Außerdem muss b um mindestens 2 größer sein als c und es gilt b + c = 10 und a + d = 8.
Insbesondere folgt aus b + c = 10 und b > c unmittelbar b > 5, sowie aus a + d = 8 unmittelbar 6<=a<=8.
Jetzt kann man die folgenden Fälle betrachten.
Fall 1: a = 6 ==> d = 2 ==> b = 6 ==> c = 4. Aber 6642 - 2466 = 4176 ==> kein Code
Fall 2: a = 7 ==> d = 1 Fall 2a: b = 7 ==> c = 3. Aber 7731 - 1377 = 6354 ==> kein Code
Fall 2b: b = 6 ==> c = 4. 7641 - 1467 = 6174 ==> 6174 ist ein Code
Fall 3: a = 8 ==> d = 0 Fall 3a: b = 8 ==> c = 2. Aber 8820 - 0288 = 8532 ==> kein Code
Fall 3b: b = 7 ==> c = 3. Aber 8730 - 0378 = 8352 ==> kein Code
Fall 3c: b = 6 ==> c = 4. Aber 8640 - 0468 = 8172 ==> kein Code
Somit gibt es nur einen Code, nämlich 6174, der dankenswerterweise auch auf dem wunderschönen Bild zur Aufgabe zu lesen ist .
01-01-2024, 07:34 PM
Sehr interessante Lösung, die den Hinweis mit der 6 beachtet. Vielen Dank. Den habe ich zwar wahrgenommen, aber die zähe Variante gewählt. Mein Beweis umfasst 4 Seiten^^