© Friederike Hofmann, MATH+
Autor: Prof. Dr. Daniel Gembris (Duale Hochschule Sachsen in Dresden)
Aufgabe
Der fleißige Wichtel Willi hat die wichtige Aufgabe, den Sportplatz für die große Wichtel-Weihnachtsfeier von Schnee zu befreien. Dabei geht er systematisch vor: Er teilt den Sportplatz in gleich große Quadrate ein und räumt jeweils ein Quadrat komplett, bevor er das nächste beginnt. Den Rest des Sportplatzes, der sich nicht durch Quadrate einteilen lässt, räumt er anschließend leer. Doch damit nicht genug – er will den Schnee so verwenden, dass daraus prächtige Schneekugeln entstehen! Durch Willis jahrelange Erfahrung im Formen von Schneekugeln, wird jede seiner Kugeln perfekt und hat einen exakten Durchmesser von 1,5 \, \mathrm{m}.
Folgende Informationen sind bekannt:
Informationen zum Schnee
- Der Sportplatz ist mit 5 \, \mathrm{cm} Neuschnee bedeckt.
- Der Schnee hat eine Dichte von 50 \, \mathrm{kg/m^3}.
- Durch das Formen der Schneekugel verdichtet sich der Schnee und hat dann eine Dichte von 100 \, \mathrm{kg/m^3}.
Willis Schneeschiebe-Strategie für ein Quadrat
- Aufteilung der Fläche und Wahl der Bahnbreite
Das Quadrat mit Seitenlänge a wird in parallele Räumbahnen zerlegt, die alle parallel zu einer Seite des Quadrats verlaufen. Die Breite b einer Bahn entspricht der Breite des Schneeschiebers. Diese Breite ist so gewählt, dass Willi beim Räumen einer Bahn maximal 5\,\mathrm{kg} Schnee gleichzeitig schiebt. Die Bahnbreite hat Willi daher passend zu seiner maximalen Schiebekraft berechnet.
Die Bahnen liegen direkt nebeneinander und bedecken zusammen die gesamte Fläche des Quadrats. Falls die Seitenlänge a kein ganzzahliges Vielfaches von b ist, ist die letzte Bahn schmaler. Dabei ist sicherzustellen, dass beim Räumen dieser schmalen Bahn der Schnee der umliegenden Quadrate unberührt bleibt. - Bewegung beim Räumen einer Bahn
Willi beginnt in einer Ecke des Quadrats (Startecke). Zur Positionierung der ersten Bahn bewegt er sich entlang des Quadratrandes um eine Strecke von \frac{b}{2}, sodass der Schneeschieber mittig auf der ersten Bahn anliegt. Ab dieser Position räumt er die Bahn, indem er den Schnee dieser Bahn geradlinig über die gesamte Länge a in Schieberichtung bis an den Rand des Quadrats schiebt.
Beim Räumen bleibt der Schnee vollständig innerhalb der aktuellen Bahn. Es bleibt kein Schnee liegen und es gelangt kein Schnee auf benachbarte Bahnen oder in benachbarte Quadrate. Der an den Rand gedrückte Schnee wird in der weiteren Betrachtung als entlang der entsprechenden Quadratseite liegend angenommen. - Wechsel zwischen zwei Bahnen
Nachdem eine Bahn vollständig geräumt ist, läuft Willi zunächst entlang derselben Bahn zur Ausgangsseite des Quadrats zurück. Anschließend bewegt er sich senkrecht zur Schieberichtung um genau eine Bahnbreite b und positioniert sich am Anfang der nächsten Bahn. Dort wiederholt er den Räumvorgang nach demselben Muster.
Dieser Ablauf wird Bahn für Bahn fortgesetzt, bis alle Bahnen des Quadrats geräumt sind. Ist die letzte Bahn schmaler, erfolgt der seitliche Versatz entsprechend ihrer Breite. - Schneesammelstelle und Ende des Schneeschiebens
Die Schneesammelstelle eines Quadrats befindet sich in der Ecke, die der Startecke diagonal gegenüberliegt. Nach dem Räumen der letzten Bahn läuft Willi die Bahn nicht mehr zurück, sondern bewegt sich direkt zur Sammelstelle. (Bewegungen entlang des Quadratrandes erfolgen unabhängig vom dort liegenden Schnee.)
Dort tauscht Willi den Schneeschieber gegen einen Eimer aus. Der entlang des Randes des Quadrats zusammengeschobene Schnee wird anschließend abtransportiert und zurück zur Schneesammelstelle getragen.
Informationen zum Schneetransport
- Willi trägt den Schnee grundsätzlich in 5-kg-Portionen; lediglich beim letzten Transport kann die aufgenommene Schneemenge geringer sein.
- Um nicht unnötig lange zu laufen, bis er 5\,\mathrm{kg} Schnee passiert hat, positioniert er sich entlang der Quadratseite so, dass er den Schnee von beiden Seiten aufnehmen kann. Dazu bewegt er sich so entlang der Seite des Quadrates, an der der Schnee liegt, bis er 2,5\,\mathrm{kg} Schnee hinter sich gelassenhat (oder er am Ende des Quadrates angekommen ist). Von beiden Seiten seines Standortes packt Willi nun jeweils 2,5\,\mathrm{kg} Schnee in seinen Eimer (oder aber den Rest, der evtl. am Ende eines Quadrates übrig bleibt) und transportiert diesen zur Schneesammelstelle.
Willis Geschwindigkeit und Zeitannahmen
- Er bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1 \, \mathrm{m/s} – sowohl mit als auch ohne Eimer oder Schneeschieber.
- Die Zeit für das Ablegen und Aufheben von Eimer und Schieber, das Befüllen und Leeren des Eimers sowie das Formen der Schneekugeln bleibt unberücksichtigt.
Deine Aufgabe
- Bestimme die Kantenlänge a des Quadrats, das für eine Schneekugel nötig ist.
- Bestimme die Breite b des Schneeschiebers, den Willi verwendet.
- Berechne die Zeit t_{\text{gesamt}}, die Willi benötigt, um den Schnee eines einzelnen Quadrats zur jeweiligen Schneesammelstelle zu befördern, d. h. sowohl durch Räumen mit dem Schneeschieber als auch durch Transport mit dem Eimer. Abgeschlossen ist die Aktion, wenn Willi zum Schluss an der Sammelstelle steht.
Gib alle Ergebnisse in folgenden Einheiten und Rundungen an:
- a in Metern, auf eine Stelle nach dem Komma gerundet,
- b in Metern, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet,
- t_{\text{gesamt}} in Minuten, auf eine Stelle nach dem Komma gerundet.
Antwortmöglichkeiten
- a = 8{,}4 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}22 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 10{,}1 \, \mathrm{min}
- a = 8{,}4 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}22 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 13{,}4 \, \mathrm{min}
- a = 8{,}4 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}22 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 15{,}2 \, \mathrm{min}
- a = 8{,}4 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}24 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 10{,}1 \, \mathrm{min}
- a = 8{,}4 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}24 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 15{,}2 \, \mathrm{min}
- a = 9{,}0 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}22 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 10{,}1 \, \mathrm{min}
- a = 9{,}0 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}22 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 13{,}4 \, \mathrm{min}
- a = 9{,}0 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}24 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 10{,}1 \, \mathrm{min}
- a = 9{,}0 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}24 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 13{,}4 \, \mathrm{min}
- a = 9{,}0 \, \mathrm{m},\, b = 0{,}24 \, \mathrm{m},\, t_{\text{gesamt}} = 15{,}2 \, \mathrm{min}
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