Lösung Aufgabe 5

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Geht es hier schneller? In jedem Fall hatte ich erst übersehen, dass Fall 2 gar nicht eintreten kann, sodass ich erst eine falsche Lösung notiert hatte. Durch einen Schüler aus meiner Mathe-AG, wo ich die Aufgabe besprochen habe, ist mir der Fehler klar geworden 😉
https://www.dropbox.com/t/zvaDto7TToM5Z0hX

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Zunächst hab ich mir die Frage gestellt, wie denn die Abschlusstabelle konkret aussieht.
Dafür gibt es theoretisch 6 Möglichkeiten, die sich leicht nach und nach eliminieren lassen:
1. Fall: Eisstedt 15, Frostberg 13, Gletscherdorf 11, Kaltburg 9, Schneeheim 7, Winterthal 5 kann es nicht sein, da hier Eisstedt alle Spiele gewonnen hätte, aber andererseits Frostberg 4 Siege, 1 Unentschieden und KEINE Niederlage hätte.
2. Fall: Eisstedt 14, Frostberg 12 … kann es ebenfalls nicht sein, da man für 14 Punkte 4 Siege und 2 Unentschieden, also 6 Spiele benötigt
3. Fall: Eisstedt 10, Frostberg 8, Gletscherdorf 6, Kaltburg 4, Schneeheim 2, Winterthal 0 kann es auch nicht sein, denn hier hätte Winterthal alle Spiele verloren und Schneeheim keinen Sieg, sondern lediglich 2 Unentschieden.
Es bleiben noch die Fälle zu betrachten:
4. Eisstedt 13, Frostberg 11, Gletscherdorf 9, Kaltburg 7, Schneeheim 5, Winterthal 3
5. Eisstedt 12, Frostberg 10, Gletscherdorf 8, Kaltburg 6, Schneeheim 4, Winterthal 2
6. Eisstedt 11, Frostberg 9, Gletscherdorf 7, Kaltburg 5, Schneeheim 3, Winterthal 1
Sei x die Anzahl Spiele, bei denen es einen Sieger gegeben hat und y die Anzahl Spiele, die unentschieden endeten.
Dann gilt für 4. x + y = 15 (die Gesamtanzahl der Spiele beträgt 15) und 3x + 2y = 48 (die Gesamtzahl der verteilten Punkte). Daraus folgt x = 18 und y = -3. Da es eine negative Zahl an Unentschieden nicht gibt, ist es also auch 4. nicht
Für 6. gilt: x + y = 15 und 3x + 2y = 36, also x = 6 und y = 9. Um tatsächlich auf 9 Unentschieden zu kommen, müsste die Situation dann folgende sein:
Eisstedt: 3 Siege, 2 Unentschieden, 0 Niederlagen
Frostberg: 2 Siege, 3 Unentschieden, 0 Niederlagen
Gletscherdorf: 1 Sieg, 4 Unentschieden, 0 Niederlagen
Kaltburg: 0 Siege, 5 Unentschieden, 0 Niederlagen
Schneeheim: 0 Siege, 3 Unentschieden, 2 Niederlagen
Winterthal: 0 Siege, 1 Unentschieden, 4 Niederlagen
Hier der Widerspruch: Winterthal hat 4 Spiele verloren, es gab aber nur 3 Teams, die überhaupt Siege einfahren konnten.

Die Tabelle ist also 5. und durch x + y = 15, 3x + 2y = 42 wissen wir, dass es x = 12 Siege und nur y = 3 Unentschieden gab. Somit ergibt sich folgende Situation:
Eisstedt: 4 Siege, 0 Unentschieden, 1 Niederlage
Frostberg: 3 Siege, 1 Unentschieden, 1 Niederlage
Gletscherdorf: 2 Siege, 2 Unentschieden, 1 Niederlage
Kaltburg: 2 Siege, 0 Unentschieden, 3 Niederlagen
Schneeheim: 1 Sieg, 1 Unentschieden, 3 Niederlagen
Winterthal: 0 Siege, 2 Unentschieden, 4 Niederlagen

Winterthal hat somit gegen Kaltburg verloren, da Kaltburg nicht unentschieden gespielt hat und Winterthal kein Spiel gewonnen hat.
Angenommen Winterthals beide unentschieden wären gegen Schneeheim und Frostberg gespielt . Dann hätte Gletscherdorf 2mal quasi unentschieden gegen sich selbst spielen müssen. Also hat Winterthal gegen Gletscherdorf unentschieden gespielt und Antwort 10 ist korrekt.

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Hier meine Überlegungen: Die Abschlusstabelle geht nur mit 42 Punkten (36 (also E 11 Punkte) geht nicht, weil dann 9 Unentschieden und nur 6 Siege vorhanden wären. Dann hätte aber W nur einen Punkt und damit sicher vier Spiele verloren. Es müsste also mindestens vier Mannschaften mit mindestens einem Sieg geben (nämlich gegen W), da aber E sicher 3 Siege hat und F sicher mindestens 2 Siege hat (bei 9 Pkt), bleibt nur noch ein Sieg übrig und den können nicht zwei Mannschaften haben).
Also geht nur 42 Punkte. Und das hat genau die Tabelle
E: 12 P, 4 – 0 – 1
F: 10 P, 3 – 1 – 1
G: 8 P, 2 – 2 – 1
K: 6 P, 2 – 0 – 3
S: 4 P, 1 – 1 – 3
W: 2 P, 0 – 2 – 3
zur Folge (eine andere Variation mit 42 Punkten gibt es nicht).
Und dann ist klar, dass W gegen G unentschieden gespielt haben muss (beide haben je zwei Unentschieden, bei insgesamt 3 U). Da K kein Unentschieden haben kann (denn 6 Pkt sind 3 U oder 0 U ), muss K gegen W gewinnen oder verlieren. Da W aber bei 2 Punkten keinen Sieg haben kann folgt zwingend : W verliert gegen K und spielt unentschieden gegen G. ==> Antwort 10 (da ja nur genau eine richitg sein kann).

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Hinter obiger Begründung (andere Variation mit 42 Punkten gibt es nicht) würde ein kleinlicher Mathelehrer vielleicht ein rotes “Warum?” schreiben, daher hier noch eine argumentative Ergänzung: Modulo 3 betrachtet, ist die Anzahl der Unentschieden jeder Mannschaft gleich ihrer Endpunktzahl.

Noch einmal alles zusammengefasst:

Bei den gesamt 15 Spielen ergeben sich 30 bis 45 Gesamtpunkte. Genauer: mit den aufsteigend geordneten Punktzahlen a, a+2, a+4, a+6, a+8, a+10 ergeben sich (30 + 6a) Punkte, mit 6a entschiedenen und (15 – 6a) unentschiedenen Spielen.

Die besten drei Mannschaften haben mindestens 10, 8 bzw. 6 Punkte – von je 5 Spielen also mindestens 3, 2 bzw. 1 Spiel gewonnen, d.h. a >= 1.

Falls a = 1, gäbe es genau 6 Siege, genau die sechs bereits erwähnten unter den ersten drei. Die drei anderen hätten also überhaupt nie ein Spiel gewonnen, also untereinander jeweils Unentschieden gespielt, d.h. die letzte Mannschaft hätte mindestens zwei Punkte. Widerspruch.

Folglich a = 2, also insgesamt 3 Unentschieden. Die erreichten Punktzahlen (2,4,6,8,10,12) entsprechen (2,1,0,2,1,0) Unentschieden. ( Damit ergibt sich die Anzahl der Siege zu (0,1,2,2,3,4) und entsprechend die Anzahl der Niederlagen aus der Gesamtzahl von 5 Spielen pro Mannschaft. )

Und weiter wie gehabt… Es gibt nur drei Unentschieden, d.h. die je zwei Unentschieden von dritter und letzter Mannschaft sind nicht alle paarweise verschieden, d.h. deren beider Aufeinandertreffen endete unentschieden.

Die vierte spielte nie Unentschieden, hat also gegen die letzte gewonnen.
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Dass keine der anderen neun Aussagen zwingend richtig ist, folgt aus den letzten Ausführungen allerdings nicht (sondern höchstens aus dem Kontext des Mathekalenders), daher der Vollständigkeit halber…

Bei folgender in jeglicher sonstigen Hinsicht möglichen Punkttabelle sind die Aussagen 1. 4. 7. 8. und 9. nicht erfüllt,

    # | E F G K S W
    ----------------
    E | - 0 3 3 3 3   12
    F | 3 - 0 3 3 1   10
    G | 0 3 - 3 1 1    8
    K | 0 0 0 - 3 3    6
    S | 0 0 1 0 - 3    4
    W | 0 1 1 0 0 -    2

bei folgender Punkteverteilung nicht die Aussagen 2. 3. 5. und 6.

    # | E F G K S W
    ----------------
    E | - 3 3 0 3 3   12
    F | 0 - 1 3 3 3   10
    G | 0 1 - 3 3 1    8
    K | 3 0 0 - 0 3    6
    S | 0 0 0 3 - 1    4
    W | 0 0 1 0 1 -    2 

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1) Wir Mathelehrer sind “nie” kleinlich.

2) Es war ja schon bevor man die Aufgabe geöffnet hatte klar, dass nur “42” Punkte gehen. Ich hatte mir die Bemerkung im feedback verkniffen (da sie eh, zu recht, zensiert worden wäre), aber jetzt darf man ja.
Somit muss, da der Punkteabstand der einzelnen Mannschaften “äquidestant” 2 ist und der Punkteschnitt bei 7 liegt, die Punktesumme von 1 und 6 (bzw. 2 und 5 bzw 3 und 4) natürlich genau 14 betragen. Da die Punktedifferenz zwischen 1 und 6 definitiv 10 beträgt, kommt nur noch 12 und 2 in Frage.

3) Es war schön, dass so die “42” (wenn schon nicht als optionale Antwort) wenigstens einmal als Zwischenschritt vorkam.

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Da du das ansprichst… Dass es ausgerechnet am Tag “24” einen Schalter zu viel gab, legt eine Verschwörung nahe, dass nämlich die Frage gar nicht gefunden werden darf.

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Ja es wäre sehr schön gewesen, wenn der Code für den Safe nur 6 stellig gewesen wäre, dann hätten wir mindestens einmal im Kalender 2021 die “richtige” Antwort gehabt. 🙂

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