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January 1, 2022 at 11:08 #15214Anonymous
Die halbe Miete ist es, den Tetraeder geeignet in ein Koordinatensystem einzubetten. Am einfachsten scheint mit die jeweils gegenüber liegenden Ecken des Einheitswürfels zu nehmen. Dann krabbelt ein Käfer von (0,0,0) nach (1,1,0) und der andere von (0,1,1) nach (1,0,1). Nach m Minuten sind die Käfer dann bei (m/120,m/120,0) und (m/60,1-m/60,1). Um nicht mut Wurzeln rechnen zu müssen, kann man das Quadrat des Abstandes minimieren. Diese Funktion ist eine quadratische Funktion, deren Minimum man auch ohne Differentialrechnung durch quadratische Ergänzung bestimmen kann. Ergebnis: m=36.
January 1, 2022 at 18:45 #15331AnonymousHier hatten es die Oberstufenschüler relativ einfach, denn das ist im Prinzip eine klassische “Flugzeug-Aufgabe” aus der analytischen Geometrie. Modellierung der “Krabbelbahnen” mithilfe zweier Parametergleichungen und dem gleichen Parameter t (Zeit), dabei muss man allerdings die Länge der Richtungsvektoren wegen der unterschiedlichen Geschwindigkeiten anpassen.
Allerdings bin ich nicht wie st1974 auf die tolle Idee gekommen das Tetraeder in einen Würfel einzubeschreiben. Ich habe die zwei “unschönen” Koordinatentripel (für die Eckpunkte) des Tetraeders elementargeometrisch berechnet.January 1, 2022 at 20:17 #15376AnonymousDie Aufgabe mit linearer Algebra zu erschlagen mag zwar einfach sein, nimmt aber meiner Meinung nach den Spaß. Der Sinn von Raumgeo ist doch, die richtigen Hilfsebenen zu finden… Ich bevorzuge jedenfalls die elementare Lösung (wobei “elementar” in diesem Fall relativ ist, denn ohne einmalige Anwendung vom Kosinussatz kommt man glaube ich nicht aus).
Bin leider gerade zu faul, die Lösung noch mal ordentlich aufzuschreiben und einzuscannen, allerdings ist die “Zehntklässlerlösung” auch nicht wirklich kompliziert, man kann nämlich recht leicht aus der Strecke, die beide Käfer zurückgelegt haben, auf die Länge der Verbindungsstrecke schließen.
January 1, 2022 at 21:42 #15391AnonymousIch habe es auch über die analytische Geometrie und zwei Geradenscharen gelöst. Ich finde die Lösung hübsch.
https://www.dropbox.com/t/nQbPPeVip4XXR0AwJanuary 1, 2022 at 23:39 #15439AnonymousEs elementar geometrisch auch ohne Cosinussatz. Der momentane Abstand der beiden Käfer kann man als Raumdiagonale eines Quaders auffassen. Dieser Quader wird mit der Zeit t kürzer, weniger breit, aber auch höher.
Man muss jetzt noch die Länge, Breite und Höhe mit Hilfe der Zeit t ausdrücken und dann genügt zweimal Pythagoras bzw. eine wurzel der Form: Wurzel (l(t)^2 + b(t)^2 + h(t)^2)
Allerdings ist es etwas aufwändig die Seiten des Quaders in Abhängigkeit von t zu bestimmen. Letztendlich macht man mathematisch das Gleiche wie bei der Methode mit dem Verbindungsvektor der Käferpositionen, denn hinter dessen Länge steckt ja eigentlich auch die Raumdiagonale eines Quaders. -
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