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23 Lösung / Solution - Estela - 12-30-2025
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RE: 23 Lösung / Solution - Georg J. aus D. - 12-30-2025
Herr Johnsons zerbrochene Weihnachtsanhänger
Alle Körper bestehen aus 20 Dreiecken, 30 Quadraten und 12 Fünfecken und haben 60 Ecken, 120 Kanten und 62 Flächen.
A ist ein Rhombenikosidodekaeder.
B bis E sind verdrehte kleine Rhombenikosidodekaeder (Johnson-Körper J72 bis J75)
D = J72
{ B, E } = { J73, J74 }
C = J75
Anhänger { 1, 2 } = { B, E }
Anhänger 3 = C
Es fehlen A und D. -> Antwort 7.
RE: 23 Lösung / Solution - pierrot - 12-30-2025
Genau, das habe ich auch, im Link unten die Verdrehungen an den Abbildungen noch visualisiert:
Tolle Aufgabe, mal etwas ganz anderes.
Antwort 7 - Netz A und D sind nicht 3D-dargestellt.
Netz A ist der 13. Archimedische Körper: das Rhombenikosi-Dodekaeder
Die Netze B-E sind gerade alle 4 Johnson-Körper (siehe Aufgabentitel), die man durch Verdrehung einer oder mehrerer Fünfeck-Kappen um 36° erreicht.
Eine Fünfeck-Kappe besteht aus einem Fünfeck mit 5 angrenzenden Quadraten und den 5 Dreiecken, die zwischen diesen Quadraten liegen.
Ein Johnsonkörper ist ein streng konvexer Körper, der von regelmäßigen Vielecken begrenzt ist, der aber im Unterschied zum platonischen oder archimedischen Körper nicht uniform an allen Ecken ist (weniger Symmetrie). Davon gibt es wohl 92 Stück – aber nur vier mit 12 Fünfecken, 30 Quadraten und 20 Dreiecken (so wie der Rhomebnikosi-Dodekaeder)
Ich habe folgende Klassifizierungen vorgenommen:
A Fünfeckklassifizierung (x,y,z) : pro Fünfeck können 0,1 oder 2 Dreieck direkt anliegen
x: Anzahl der Fünfecke mit 0 Dreiecken, y mit 1- und z mit 2 anliegenden Dreiecken - es muss gelten x+y+z=12
B Quadratreihen: Quadrate können einzeln, in Zweier, oder Dreierreihe liegen.
Mit diesen Kennzahlen, lassen sich die 5 Netze A-E und eindeutig klassifizieren und den 3D-Bildern zuordnen, siehe Liste unten (bzw in der Abbildung: Lösungsskizze).
• Rhombenikosi-Dodekaeder: A(12,0,0) – alle Quadrate einzeln
• J72: eine Kappe verdreht: D(7,5,0) – 5 Quadrat-Zweier-Reihen
• J73: zwei gegenüberliegende Kappen verdreht („para“): B(2,10,0) – 10 Quadrat-Zweier-Reihen
• J74: zwei nicht gegenüberliegende Kappen verdreht, so dass sich die Dreh-Flächen gerade nicht überschneiden (da gibt es pro Kappe 5 mögliche zweite Kappen, die im unteren 5er-Gürtel liegen): E(4,6,2) – 1 Quadrat-Dreier und 8 Quadrat-Zweier-Reihen
• J75: drei Kappen sind verdreht (Drehflächen dürfen sich nicht überlagen): C(3,3,6) – 3 Quadrat-Dreier- und 9 Quadrat-Zweier-Reihen.
Bemerkung: J75 entsteht aus J74 (nicht aus J73), in dem man eine dritte Kappe dreht, so dass sich die Drehkappen bei Drehung nicht überschneiden!
Das sind dann auch alle Johnsonkörper, die sich mit genau diesen 62 Vielecken begrenzen lassen.
Abgebildet waren gerade alle mehrfach verdrehten Körper (2x zweifach und 1x dreifach)
Ich habe versucht, den eben beschriebenen Sachverhalt + Klassifizierung + Drehkappen (schwarz-gelbe Fünfecke) in die Abbildungen einzuzeichnen: https://www.dropbox.com/scl/fi/2qmxogfhv282ppb8r60a1/A23_Johnsonk-rper-J72-75.pdf?rlkey=gh54es43mjqxjc28g6da2n2ve&dl=0
RE: 23 Lösung / Solution - Sipalman - 12-31-2025
Ich habe den durchsichtigen Hintergrund angeguckt und es herausgefunden. Wenn man weiß, wo der sitzt so unten rechts