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16 Lösung / Solution - Druckversion

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RE: 16 Lösung / Solution - ukleinek - 12-23-2025

[Bild: 4zCj7cR.png]Die roten Bereiche summieren sich zu jeweils 0, die blauen zu -45 (weil blau + 20 + 25 == 0). Die Gesamtsumme ist dann -45.

RE: 16 Lösung / Solution - marac - 12-23-2025

(12-23-2025, 06:33 PM)ukleinek schrieb: [Bild: 4zCj7cR.png]Die roten Bereiche summieren sich zu jeweils 0, die blauen zu -45 (weil blau + 20 + 25 == 0). Die Gesamtsumme ist dann -45.
Das ist natürlich besonders elegant, Respekt!

RE: 16 Lösung / Solution - MarcoS - 12-23-2025

Bei dieser Aufgabe habe ich mich von der Diskussion im Forum, wo sie überwiegend als leicht eingestuft wurde, in die Irre führen lassen. Einfach ist in der Tat, zu erkennen, dass man ein Gleichungssystem mit 35+32=67 Gleichungen für 68 unbekannte einträge hat, welches also unterbestimmt ist und keine eindeutige Lösung besitzt. Da war ich dann (zu) schnell bei Antwort 10. Dass die Summe der 70 Einträge eine Konstante aller Lösungen ist, finde ich interessant und überraschend. Respekt, wer hier in drei bis vier Minuten die richtige Idee findet.

RE: 16 Lösung / Solution - MatheJuergen - 12-23-2025

(12-23-2025, 06:46 PM)marac schrieb:
(12-23-2025, 06:33 PM)ukleinek schrieb: [Bild: 4zCj7cR.png]Die roten Bereiche summieren sich zu jeweils 0, die blauen zu -45 (weil blau + 20 + 25 == 0). Die Gesamtsumme ist dann -45.
Das ist natürlich besonders elegant, Respekt!

Ich habe mir mit anderen Farben das gleiche Bild von der Situation gemacht   Smile  . Wenn man hier vom Ende her denkt, dann fällt die Lösung deutlich leichter.
Besonders schön ist, dass der Betrag der Lösung (- 45) sowohl die Summe von 20 und 25 als auch die Quadratwurzel aus 2025 ist.  Cool

RE: 16 Lösung / Solution - PhiSigma - 12-23-2025

Wenn man zwei der 4x3- oder 3x4-Rechtecke miteinander schneidet, sodass sie ein 3x3-Quadrat gemeinsam haben, bleiben zwei 3x1- oder 1x3-Streifen übrig, die dieselbe Summe haben müssen, da die beiden großen Rechtecke auch dieselbe Summe (von 0) haben. Wenn man das an einigen Stellen durchführt, kann man in das Gitter einige Linien einzeichnen, sodass alle Linien von derselben Farbe jeweils dieselbe Summe haben:
[Bild: GdAKsey.png]
Nun kann man (z.B. links oben) ein 4x3-Rechteck bilden, das jede Farbe genau einmal enthält, und die Summe 0 haben muss. Also ist Rot+Gelb+Grün+Blau=0 und man kann gleich viele Linien von jeder Farbe aus dem Gitter entfernen, ohne dass sich die Gesamtsumme ändert.

Ich habe hier auf der linken Seite anfangend vier entsprechende 4x3-Rechtecke in den oberen und unteren Reihen entfernt, und dann noch den roten und gelben Streifen rechts oben plus die äußeren grünen und blauen Streifen in der mittleren Zeile. Damit bleiben nur noch 10 Zellen übrig, deren Summe der Gesamtsumme des ganzen Gitters entsprechen muss:
[Bild: RoGXQDW.png]
Hier hat man auch noch eine komplette Linie von jeder Farbe übrig, nur dass die grüne und blaue Linie sich in zwei Feldern überlappen: genau denen mit der 20 und 25. Wenn man hier alle vier Linien addiert, werden die 20 und 25 doppelt gezählt, alle anderen Felder nur einfach, d.h. die Summe aller vier Linien ist die Gesamtsumme des Gitters plus zusätzlich noch einmal 20+25. Die Summe aller vier Linien ist bekanntlich 0, also 0 = Gesamtsumme + 20+25 und damit muss die Gesamtsumme -45 sein.

Ich sehe gerade, die Lösung von ukleinek ist nach einem ähnlichen Prinzip, aber noch viel simpler. Sehr schön!

RE: 16 Lösung / Solution - mbert - 12-23-2025

(12-23-2025, 07:28 PM)MarcoS schrieb: Dass die Summe der 70 Einträge eine Konstante aller Lösungen ist, finde ich interessant und überraschend.

Nun, das unterbestimmte System
2a + b = 0
b + 2c = 0
hat die konstante Summe der Lösungen a + b + c = 0.

RE: 16 Lösung / Solution - pierrot - 12-23-2025

sehr schöne Lösung von Ukleinek!

Ich hatte gleich folgende Lösung gesehen: Siehe unten -  die grünen Zeilen befüllte ich zunächst mit Nullen. Dann sieht man die Lösung sofort. Später las ich in der Aufgabe, dass Nuller verboten sind, aber diese können ganz einfach durch andere Zahlen ersetzt werden (geht man davon aus, dass jede Lösung dieselbe Summe hat, wovon ich wegen Zeitmangels an dem Abend einfach ausging, kam spät vom Sport zurück… :-))

https://www.dropbox.com/scl/fi/czyyrgjsscjtjxgyn38qs/A16_Geschenkauslieferung.jpeg?rlkey=6tdidllx3jwjrdorw1wj8lfaq&st=61nrij6x&dl=0

Und DICKES LOB. Mar Curo Iranzo aus Italien zu ihrer Aufgabe auch das schöne Aquarell-Bild angefertigt. Beides aus einer Hand. Novum glaube ich.

RE: 16 Lösung / Solution - LuckytoBee - 12-24-2025

(12-23-2025, 06:33 PM)ukleinek schrieb: [Bild: 4zCj7cR.png]Die roten Bereiche summieren sich zu jeweils 0, die blauen zu -45 (weil blau + 20 + 25 == 0). Die Gesamtsumme ist dann -45.

Ja, habe ich genauso auch bei Känguru gemacht. Da war es eine C Aufgabe.